Keterbagian

Pada waktu sekolah dasar (SD), kita sudah dikenalkan dengan istilah kelipatan, faktor , FPK, dan KPK. Sebagai contoh, 24 merupakan kelipatan dari 6 dan 6 merupakan faktor dari 24. Dari contoh ini, kita bisa dengan mudah menentukan semua faktor dari 24, yakni 1,2,3,4,6,8,12, dan 24. Berdasarkan fakta ini, kita bisa dengan mudah menentukan semua bilangan positif $n$ yang merupakan faktor dari 24, yakni $n=1, n=2, n=3,n=4, n=6, n=8, n=12$ , dan $n=24$ . Bagaimana jika ditanyakan semua bilangan bulat positif $n$ sehingga $n+2$ merupakan faktor dari $n^{2}-12$ ? Untuk menjawab pertanyaan ini, pada artikel ini diberikan penjelasan mengenai keterbagian.

Definisi 1.

[box] Diberikan bilangan bulat $a$ dan $b$ dengan $a\neq 0$ . Jika $b$ merupakan kelipatan dari $a$ maka kita katakan $a$ habis membagi $b$ atau ditulis $a~|~b$ . [/box]

Perlu dingat bahwa bilangan bulat $b$ merupakan kelipatan dari bilangan bulat $a$ jika ada bilangan bulat $k$ sehingga $b=ak$ . Dengan demikian, Definisi 1 di atas ekuivalen dengan definisi berikut ini.

Definisi 2.

[box] Diberikan bilangan bulat $a$ dan $b$ dengan $a\neq 0$ . Bilangan $a$ dikatakan habis membagi $b$ jika terdapat bilangan bulat $k$ sedemikian sehingga $b=ak$ .[/box]

Sebagai catatan, notasi $a~|~b$ dapat diartikan sebagai :

$a$ habis membagi $b$
$a$ adalah pembagi $b$ .
$a$ adalah faktor dari $b$
$b$ adalah kelipatan dari $a$ .

Dari definisi-definisi di atas, dapat diperoleh beberapa sifat berikut ini.

Teorema 1

Diberikan bilangan bulat $a$ , $b$ dan $c$ dengan $a\neq 0$ . berlaku sifat-sifat dibawah ini :

$a~|~a$ (setiap bilangan bulat $a\neq 0$ habis membagi dirinya sendiri)
Jika $a~|~b$ dan $b~|~c$ maka $a~|~c$ .
JIka $a~|~b$ dan $a~|~c$ maka $a~|~mb+nc$ untuk setiap bilangan bulat $m$ dan $n$ .
Jika $a~|~b$ maka $ac~|~bc$
Jika $ac~|~bc$ , maka $a~|~b$ .
$1~|c~$ dan $a~|~0$ .
Jika $a~|~1$ maka $a=1$ atau $a=-1$ .
Jika $a~|~b$ dan $b\neq 0$ maka $|a|\leq|b|$
Jika $a~|~b$ dan $b~|~a$ maka $|a|=|b|$
Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan bulat positif, dan $a~|~b$ maka $a\leq b$
Jika $a~|~cb$ dan FBB $(a,c)=1$ , maka $a~|~b$
Jika $a~|~b$ , dan $c~|~b$ serta $\text{FPB}(a,c)=1$ , maka $ac~|~b$

Untuk memahami penggunaan Teorema 1 di atas, diperhatikan contoh-contoh berikut ini

Contoh 1

Tentukan semua bilangan asli $n$ sehingga $n~|~24$ .

Solusi: bilangan asli $n$ yang memenuhi $n~|~24$ adalah $n=1,2,3,4,6,8,12,24$ .

Contoh 2

Tentukan semua bilangan asli $n$ sehingga $\frac{3n+27}{n+1}$ merupakan bilangan bulat.

Solusi : agar $\displaystyle \frac{3n+27}{n+1}$ merupakan bilangan bulat, maka haruslah $n+1~|~3n+27$

$\begin{equation*} \begin{split} n+1~&|~3n+27\\ n+1~&|~n+1\\ n+1~&|~3n+27-3(n+1)\\ n+1~&|~3n+27-3n-3\\ n+1~&|~24 \end{split} \end{equation*}$

Karena $n$ merupakan bilangan asli, maka $n+1\geq 2$ , sehingga diperoleh $n+1=2,3,4,6,8,12,24$ . Dengan kata lain, nilai bilangan asli $n$ yang memenuhi adalah $n=1,2,3,5,7,11,23$ .

Contoh 3:

Tentukan bulat positif $n$ sehingga $n+2$ merupakan faktor dari $n^{2}-12$

Solusi : Diiketahui bahwa $n+2~|~n^{2}-12$

$\begin{equation*} \begin{split} n+2~&|~n^{2}-12\\ n+2~&|~n^{2}-4\\ n+2~&|~n^{2}-12-n^{2}+4\\ n+2~&|~-8\\ n+2~&|~8 \end{split} \end{equation*}$

Karena $n$ merupakan bilangan asli, maka $n+2\geq 3$ , sehingga diperoleh $n+2=4,8$ . Dengan kata lain, nilai bilangan asli $n$ yang memenuhi adalah $n=,2$ dan $n=6$ ..

Published by iwan.ernanto on October 21, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Sistem Bilangan Bulat

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli