Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Berdasarkan operasi penjumlahan pada $\mathbb{N}$ selanjutnya dikonstruksi operasi perkalian dua bilangan asli. Operasi ini muncul dari penjumlahan secara berulang bilangan asli yang memunculkan pemetaan biner pada $\mathbb{N}$ sperti dalam teorema berikut ini.

Teorema 1

Pada himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ terdapat dengan tunggal pemetaan $\alpha: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ yang memenuhi

$\alpha(1, n) = n,~~\alpha(m + 1, n) = f(m, n) + n$

untuk setiap $m, n \in \mathbb{N}$ . Untuk selanjutnya ditulis $\alpha(m, n) = mn$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Terhadap pengaitan $\alpha: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ dengan

$\alpha(1, n) = n,~~\alpha(m + 1, n) = f(m, n) + n$

untuk $m = 2 = 1 + 1$ , $\alpha(2, n) = \alpha(1, n) + n = n + n$ . Misalkan untuk sebarang $m \in \mathbb{N} - \{ 1 \}$ berlaku $\alpha(m, n) \in \mathbb{N}$ . Akibatnya

$\begin{eqnarray*} \alpha(m + 1, n) & = & \alpha(m, n) + n = (\alpha(m - 1, n) + n) + n \\ & = & \alpha(m - 1, n) + (n + n) = \cdots\\ & = & \alpha(1, n) + \underbrace{(n + \cdots + n)}_{m} = \underbrace{(n + \cdots + n)}_{m + 1} \end{eqnarray*}$

Untuk sebarang $m, n, k, l \in \mathbb{N}$ jika $n = k$ , $\alpha(1, n) = n = k = \alpha(1, k)$ . Jika diketahui juga $m = l$ dan diasumsikan $\alpha(m, n) = \alpha(k, l)$ maka

$\alpha(m + 1, n) = \alpha(m, n) + n = \alpha(m, n) + k = \alpha(l, k) + k = \alpha(l + 1, k)$

sehingga terbukti $\alpha$ pemetaan. Bukti ketunggalan dijadikan latihan. $\blacksquare$

[/learn_more]

Contoh 1

Sebagai contoh diambil $4\cdot5 = \alpha(3 + 1, 5) = \alpha(3, 5) + 5 = \alpha(2, 5) + 5 + 5 = 5 + 5 + 5 +5$ . Secara umum

$m\cdot n = n + n + \cdots + n$

sebanyak $m$ suku.

Teorema 2

Untuk setiap $m, n \in \mathbb{N}$ berlaku

$1\cdot n = n~~{\rm dan}~~(m + 1)n = mn + n.$

Teorema 3

Untuk setiap $k, m, n \in mathbb{N}$ berlaku:

Distributif: $k(m + n) = km + kn$ dan $(m + k)n = mn + kn$
Assosiatif: $(km)n = k(mn)$
Komutatif: $km = mk$
Kanselatif: Jika $km = kn$ , maka $m = n$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Diambil sebarang $m, n \in \mathbb{N}$ . Dibentuk
$G = \{ k \in \mathbb{N}~|~k(m + n) = km + kn \}$

Jelas $1 \in G$ . Diasumsikan $k \in G$ . Berarti $k(m + n) = km + kn$ sehingga

$\begin{eqnarray*} (k + 1)(m + n) & = & k(m + n) + (m + n) = (km + kn) + (m + n)\\ & = & (km + m) + (kn + n) = (k + 1)m + (k + 1)n \end{eqnarray*}$

Akibatnya $k + 1 \in G$ , sehingga $G = \mathbb{N}$ .Dibentuk $H = \{ k \in \mathbb{N}~|~(m + k)n = mn + kn \}$ . Karena $(m + 1)n = mn + n = mn + 1n$ , berarti $1 \in G$ . Diasunsikan $k \in G$ . Akibatnya $(m + k)n = mn + kn$ , sehingga

$\begin{eqnarray*} (m + (k + 1))n & = & ((m + k) + 1)n = (m + k)n + n \\ & = & (mn + kn) + 1n = mn + (kn + 1n) = mn + (k + 1)n \end{eqnarray*}$

Jadi $k + 1 \in G$ . Dengan kata lain $G = \mathbb{N}$ .
Diambil sebarang $m, n \in \mathbb{N}$ sebarang. Dibentuk
$G = \{ k \in \mathbb{N}~|~(km)n = k(mn) \}$

Untuk $k = 1$ berlaku $(km)n = (1m)n = mn = 1(mn) = k(mn)$ . Akibatnya $1 \in G$ . Dimisalkan $k \in G$ . Karena distributif kanan berlaku

$((k + 1)m)n = (km + 1m)n = (km)n + (1m)n = k(mn) + mn = (k + 1)(mn)$

Berarti $k + 1 \in G$ , sehingga $G = \mathbb{N}$ .
Untuk sebarang $n \in \mathbb{N}$ berlaku $n1 = n = 1n$ , sebab: Untuk $n = 1$
$n1 = 1\cdot 1 = 1 = n = 1n$

Misalkan $n1 = n = 1n$ . Akibatnya $(n + 1)1 = n1 + 1 = n + 1 = 1(n + 1)$ .
Selanjutnya dimisalkan $mn = nm$ untuk sebarang $m \in \mathbb{N}$ . Akibatnya dengan menggunakan sifat distributif kiri

$(m + 1)n = mn + n = nm + n1 = n(m + 1)$

sehingga $m + 1 \in G$ . Jadi komutatif berlaku.
Diketahui $km = kn$ . Diandaikan $m \neq n$ . Akibatnya terdapat $u \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $m = n + u$ atau $n = m + u$ , sehingga
$kn = k(n + u) = kn + ku~~{\rm atau}~~km = k(m + u) = km + ku$

keduanya tidak mubgkin terjadi, karena $ku \in \mathbb{N}$ . Jadi $n = m$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Teorema 4

Jika $u$ dan $v$ bilangan asli, $uv = 1$ jika dan hanya jika $u = 1 = v$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Jika $u = 1 = v$ , $uv = 1$ . Sebaliknya misalkan $uv = 1$ . Andaikan $u \neq 1$ atau $v = 1$ . Akibatnya $uv = u \neq 1$ . Kontradiksi. Begitu juga jika $v \neq 1$ dan $u = 1$ . Sedangkan jika $u \neq 1 \neq v$ , maka terdapat $m, n \in \mathbb{N}$ sehingga $u = m + 1$ dan $v = n + 1$ . Dapat disimpulkan $uv = (m + 1)(n + 1) = (mn + m + n) + 1 \neq 1$ . Kontradiksi. $\blacksquare$ .

[/learn_more]

Berdasarkan sifat komutatif operasi perkalian pada $\mathbb{N}$ , semua sifat yang berlaku untuk perkalian dengan elemen dari sisi sebelah kiri juga berlaku untuk perkalian dengan elemen di sebelah kanan.

Teorema 5

Diketahui $k, m, n, l \in \mathbb{N}$ .

Jika $m < n$ , maka $km < kn$ dan $k(m - n) = km - kn$
Jika $m < n$ dan $k < l$ , maka $mk < nl$
Jika $m < n$ , maka $m < kn$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Karena $m < n$ maka dapat ditemukan $u \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $n = m + u$ .

Akibatnya $kn = k(m + u) = km + ku$ . Tentu saja $ku \in \N$ , sehingga $km < kn$ dan $k(n - m) = ku = kn - km$ .
Karena $k < l$ , maka terdapat $v \in \N$ yang memenuhi $l = k + v$ .
$nl = (m + u)(k + v) = mk + (uk + mv + uv)$

Hal ini berakibat $mk < nl$ .
Merupakan akibat dari kasus 1 dan 2. $\blacksquare$

[/learn_more]

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Published by surodjo_b on November 19, 2020November 19, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Materi

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Materi

Sistem Bilangan Bulat

Materi

Relasi Urutan Dan Operasi Pengurangan Pada Sistem Bilangan Asli

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Published by surodjo_b on November 19, 2020November 19, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Related Posts

Materi

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Materi

Sistem Bilangan Bulat

Materi

Relasi Urutan Dan Operasi Pengurangan Pada Sistem Bilangan Asli