Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Pada himpunan $\mathbb{Z}$ dapat didefinisikan relasi $"<"$ dengan definisi untuk setiap $k, m \in \mathbb{Z}$

$k < m~~{\rm jika}~~(\exists n \in \N)m = k + n.$

Berdasarkan relasi $"<"$ didefinisikan relasi $"\leq"$ dengan definisi untuk setiap $k, m \in \mathbb{Z}$

$k \leq m~~{\rm jika}~k = m~{\rm atau}~(\exists n \in \N)m = k + n.$

Mudah dibuktikan $k = m$ jika dan hanya jika $k = m + 0$ , sehingga diperoleh $k \leq m$ jika dan hanya jika dapat ditemukan $n \in \N \cup \{ 0 \}$ yang memenuhi $m = k + n$

Teorema 1

Relasi $"<"$ merupakan relasi urutan parsial tegas dan untuk setiap $k$ dan $m$ di $\mathbb{Z}$ berlaku tepat satu dari pernyataan-pernyataan

$k = m$
$k < m$
$m < k$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Diambil sebarang $k \in \mathbb{Z}$ dan diandaikan $k < k$ . Akibatnya terdapat $n \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $k + 0 = k = k + n$ . Sesuai Teorema 3 pada artikel Sistem Bilangan Bulat $0 = n$ . Kontradiksi dengan $0 \not\in \N$ . Akibatnya $k \not< k$ .Untuk sebarang $k, m \in \mathbb{Z}$ jika $k < m$ dapat ditemukan $n \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $m = k + n$ . Jika $m < k$ akibatnya terdapat $l \in \mathbb{N}$ sehingga $k = m + l$ , sehingga
$m = k + n = (m + l) + n = m + (l + n).$

Sesuai Teorema 3 artikel Sistem Bilangan Bulat $0 = l + n$ , sedangkan $l + n \in \mathbb{N}$ . Kontradiksi. Jadi $m \not< k$ .Selanjutnya untuk sebarang $k, m,$ dan $n$ di $\mathbb{Z}$ yang memenuhi $k < m$ dan $m < n$ dapat ditemukan $p, q \in \mathbb{N}$ sehingga
$m = k + p$ dan $n = m + q$ . Akibatnya

$n = m + q = (k + p) + q = k + (p + q)$

dengan $p + q \in \mathbb{N}$ . Dapat disimpulkan $k < n$ .
Diambil sebarang $k$ dan $m$ elemen $\mathbb{Z}$ . Dimisalkan $k \neq m$ :
(a) Jika $k, m \in \mathbb{N}$ , jelas dapat ditemukan $n \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $m = k + n$ atau $k = m + n$
(b) Jika $k \in \mathbb{N}$ dan $m = 0$ , berlaku $k = k + 0 = k + m$ .
(c) Jika $k \in \mathbb{N}$ dan $m \in \mathbb{N}^{-}$ , dapat ditemukan $u \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $m = \sigma(u)$ . Diperoleh

$k = 0 + k = (\sigma(u) + u) + k = m + (u + k)$

dengan $u + k \in \mathbb{N}$ .
(d) Jika $k = 0$ dan $m = \sigma(u)$ untuk suatu $u \in \mathbb{N}$ , $k = 0 = \sigma(u) + u = m + u$ .
(e) Jika $k = \sigma(u)$ dan $m = \sigma(v)$ untuk suatu $u$ dan $v$ di $\mathbb{N}$ , dari bukti awal
dapat ditentukan $u < v$ atau $v < u$ . Jika $u < v$ (analog untuk kasus $v < u$ ), dapat ditemukan $p \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $v = u +_{\mathbb{N}} p$ . Akibatnya

$k = \sigma(u) = \sigma(v -_{\mathbb{N}} p) = \sigma(v) + p$

$\blacksquare$

[/learn_more]

Sebagian langkah bukti yang analog tidak dibahas dan ditinggal sebagai latihan.

Teorema 2

Diketahui $k, m$ dan $n$ bilangan bulat.

Jika $k < m$ , maka $k + n < m + n$ .
Jika $k < m$ , maka $k - n < k - n$ .
Diketahui $k < m$ . Jika $n \in \N$ , maka $kn < mn$ . Jika $n \in \sigma(\N)$ , maka $mn > kn$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Hanya akan dibuktikan untuk 3. Diketahui $k < m$ . Dapat ditemukan $u \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $m = k + u$ . Akibatnya $mn = kn + un$ . Jika $n \in \mathbb{N}$ , berlaku $un \in \mathbb{N}$ , sehingga terdapat $un \in mathbb{N}$ yang memenuhi $mn = kn + un$ . Jadi $kn < mn$ . Jika $n \in \sigma(\mathbb{N})$ , maka $n = \sigma(-n)$ . Akibatnya

$mn + (-un) = (kn + un) + (-un) = kn$

dengan $-un = u(-n)$ . Karena $-n \in \mathbb{N}$ , maka $-un \in \mathbb{N}$ , sehingga $mn < kn$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Seperti yang telah dibahas dalam sistem bilangan asli, setiap bilangan asli $u \neq 1$ berlaku $u = v + 1$ untuk suatu bilangan asli $v$ . Hal ini berakibat untuk sebarang bilangan bulat $n$ , $n + u = n + (v + 1) = (n + 1) + v$ , sehingga diperoleh sifat berikut ini:

Lemma 1

Untuk sebarang bilangan bulat $n$ tidak mungkin terdapat $m \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi $n < m < n + 1$ .

Berbeda dengan sistem bilangan asli, pada sistem bilangan bulat tidak dikenal sifat “Well Ordering set”, yang menyatakan setiap himpunan tak kosong selalu memiliki elemen paling kecil. Namun demikian sistem bilangan bulat masih mempertahankan sifat interval hingga, yaitu untuk setiap $k$ dan $m$ di $\mathbb{Z}$ jika $k < m$ , maka banyaknya bilangan bulat yang terletak di antara kedua bilangan tersebut hanya sebanyak hingga.

Selanjutnya untuk sebarang $k$ , $m$ , dan $n$ di $\mathbb{Z}$ notasi $k \leq n \leq m$ menyatakan $k \leq n$ dan $n \leq m$ . Demikian juga notasi $k < n \leq$ menyatakan $k < n$ dan $n \leq m$ ; serta notasi-notasi sejenis.

Definisi 1

Diketahui $k, m \in \mathbb{Z}$ dan $k \leq m$ didefinisikan himpunan-himpunan sebagai berikut ini:

$[k, m] \doteq \{ n \in \mathbb{Z}~|~k \leq n \leq m \}$
$[k, m) \doteq \{ n \in \mathbb{Z}~|~k \leq n < m \}$
$(k, m] \doteq \{ n \in \mathbb{Z}~|~k < n \leq m \}$
$(k, m) \doteq \{ n \in \mathbb{Z}~|~k < n < m \}$

Sebagai gambaran diberikan beberapa contoh berikut ini

$\begin{eqnarray*} [-2, 6] = \{ -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 \},\hspace{1.65cm}~ & & [4, 8) = \{ 4, 5, 6, 7 \}\\ (-12, -5 ] = \{ -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5 \}, & & (-1, -4) = \{ 0, 1, 2, 3 \} \end{eqnarray*}$

Selain itu mudah ditunjukkan bahwa untuk sebarang $k, m \in \mathbb{Z}$ :

$[k, m] = \{ k, k + 1, \ldots, m \}$ jika dan hanya jika $k \leq m$ .
$[k, m) \neq \emptyset \neq (k, m]$ jika dan hanya jika $k < m$ .
$(k, m] \neq \emptyset$ jika dan hanya jika $k + 1 \leq m$ .
$(k, m) \neq \emptyset$ jika dan hanya jika $k + 2 \leq m$ .

Sebagai bukti hanya akan ditunjukkan untuk kasus 1 dan 4. Jika $[k, m] = \{ k, k + 1, \ldots, m \}$ , berarti $k \leq k \leq m$ . Sebaliknya jika $k \leq m$ , maka $k = m$ atau terdapat $u \in \N$ yang memenuhi $m = k + u$ , dengan $u = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{u}$ . Untuk $k = m$ diperoleh $[k, m] = \{k\}$ . Untuk $k < m$ ,

$k < k + 1 < k + 1 + 1 < \cdots < k + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{u} = m$

Jadi $[k, m] = \{ k, k + 1, \ldots, m \}$

Untuk kasus $(k, m) \neq \emptyset$ . Jika $m \leq k + 1$ , diperoleh untuk sebarang $n \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi $k < n < m$ akan berakibat

$k < n < k + 1$

maka terdapat $u \in \N$ yang memenuhi $n = k + v$ . Akibatnya $k < k + 1 \leq k + v$ , sehingga $k + 1 \in (k, m)$ . Kontradiksi dengan Lemma 1. Dapat disimpilkan $k + 2 \leq m$ . Sebaliknya jika $k + 2 \leq m$ , berlaku $k + 1 \in (k, m)$ .

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Published by surodjo_b on November 20, 2020November 20, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Materi

Sistem Bilangan Bulat

Materi

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Materi

Relasi Urutan Dan Operasi Pengurangan Pada Sistem Bilangan Asli

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Published by surodjo_b on November 20, 2020November 20, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Related Posts

Materi

Sistem Bilangan Bulat

Materi

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Materi

Relasi Urutan Dan Operasi Pengurangan Pada Sistem Bilangan Asli