Persamaan Diophantine non-linear adalah suatu persamaan Diophantine yang tidak linear atau dengan kata lain memiliki suku yang berderajat lebih dari 1. Secara umum, tidak ada teknik khusus yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian persamaan Diophantine non-linear. Pada artikel ini, akan dijelaskan beberapa persamaan Diophantine non-linear yang cukup terkenal dan telah diketahui penyelesaiannya, yakni Persamaan Phytagoras, Persamaan Pell,
Persamaan Phytagoras
Persamaan Phytagoras merupakan suatu persamaan Diophantine yang memiliki bentuk
(1)
Solusi bulat positif dari persamaan 1 biasanya dikenal dengan istilah tripel Phytagoras. Dari sudut pandang geometri, setiap tripel Phytagoras
terkait dengan sebuah segitiga siku-siku yang sisi-sisinya
,
, dan
. Beberapa tripel Phytagoras yang umum diketahui adalah
,
,
.
Suatu tripel Phytagoras dikatakan primitif jika
. Setiap tripel Phytagoras merupakan tripel Phytagoras primitif atau kelipatan suatu tripel Phytagoras primitif. Teorema berikut memberikan formula umum dari tripel Phytagoras primitif.
Teorema 1
[box] Tripel bilangan bulat positif merupakan tripel Phytagoras primitif jika dan hanya jika
memiliki bentuk
atau
di mana
dan
merupakan bilangan bulat positif yang relatif prima,
, dan memiliki paritas berbeda.[/box]
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Misalkan adalah tripel Phytagoras primitif. Jika
dan
merupakan bilangan ganjil, diperoleh
yang merupakan sebuah kontradiksi sebab bilangan kuadrat tidak ekuivalen dengan 2 dalam modulo 4. Akibatnya, salah satu dari atau
merupakan bilangan genap. Misalkan
genap, maka
haruslah ganjil sebab
dan
relatif prima. Akibatnya,
juga bilangan ganjil. Diperoleh
dan
adalah bilangan bulat positif. Lebih lanjut,
dan
saling relatif prima, sebab setiap faktor persekutuan dari
dan
akan habis membagi
dan
. Karena
and
, diperoleh
Perhatikan bahwa karena merupakan bilangan bulat dan
dan
saling relatif prima, diperoleh
and
adalah bilangan kuadrat. Artinya,
and
untuk suatu bilagan bulat positif
and
. Karena
adalah bilangan ganjil,
dan
memiliki paritas yang berbeda. Akibatnya,
dan
memiliki paritas yang berbeda.
Sebaliknya, perhatikan bahwa
Artinya, atau
merupakan tripel Pythagoras. Lebih lanjut, tripel tersebut primitif sebab sebarang faktor persekutuan dari
dan
adalah bilangan ganjil dan merupakan faktor persekutuan dari
dam
, sedangkan
.
[/learn_more]
Persamaan Pell
Persamaan Pell merupakan suatu persamaan Diophantine yang memiliki bentuk
(2)
dengan adalah suatu bilangan bulat positif.
Dalam mencari solusi bulat persamaan Pell, cukup diselidiki solusi bulat positif dari persamaan tersebut.
- Jika
merupakan bilangan kuadrat, katakan
, maka solusi bulat persamaan Pell dapat dicari dengan menggunakan teknik pecah kuadrat:
.
- Jika
bukan bilangan kuadrat, terdapat tak hingga banyaknya solusi bulat persamaan Pell.
Teorema berikut memberikan solusi bulat positif persaman Pell .
Teorema 2
[box] Misalkan bukan bilangan kuadrat dan
merupakan solusi bulat positif terkecil (dengan
terkecil) dari persamaan
. Semua solusi bulat positif persamaan Pell
diberikan oleh pasangan bilangan bulat positif
,
, dengan
[/box]
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Perhatikan bahwa jika dan
adalah solusi bulat positif persamaan Pell tersebut, maka
, yang berarti
merupakan solusi lain persamaan Pell. Berdasarkan observasi ini, solusi persamaan Pell
dapat diperoleh melalui ekspresi
, yakni
atau ekuivalen dengan
Selanjutnya, akan ditunjukan tidak ada solusi lain selain bentuk di atas. Andaikan terdapat solusi bulat positif lain, katakan . Terdapat bilangan asli
dengan sifat
Dengan mengalikan ketaksamaan tersebut dengan , diperoleh
Akan tetapi,
yang berarti merupakan suatu solusi bulat positif yang lebih \textit{kecil} dari
, suatu kontradiksi.
[/learn_more]
Contoh :
Tentukan semua bilangan asli sehingga
merupakan bilangan kuadrat sempurna
Solusi :
Misalkan . Diperoleh
Cukup diselidiki solusi dari persamaan Pell: .
Dapat dicek bahwa merupakan solusi bulat positif terkecil. Dengan demikian, semua solusi berbentuk
atau ekuivalen dengan
Jadi, semua bilangan asli yang memenuhi berbentuk
dengan
.
Teorema Terakhir Fermat
Teorema terakhir Fermat merupakan salah satu teorema yang terkenal dikalangan matematikawan yang bekerja di teori bilangan. Teorema ini terkait dengan eksistensi solusi bulat persamaan Diophantine berbentuk dengan
bilangan asli. Mudah dicek bahwa untuk
, persamaan tersebut memiliki tak hingga banyaknya solusi, sedangkan untuk
, solusi bulat positif persamaan tersebut tiada lain adalah tripel Phytagoras. Untuk
, eksistensi solusi persamaan tersebut diberikan dalam teorema berikut.
Teorema 3
[box] Diberikan . Persamaan Diophantine
tidak memiliki solusi bulat.[/box]
Pada awalnya, teorema ini masih berupa sebuah klaim. Klaim ini pertama kali disampaikan Fermat sekitar tahun 1637. Dalam tulisannya, ia juga menambahkan catatan bahwasanya ia memiliki solusi yang indah untuk klaim tersebut, namun tidak ada ruang yang cukup untuk menuliskannya. Setelah usaha yang keras selama 348 dari para matematikawan lainnya dalam membuktikan klaim tersebut, pada tahun 1994, Andrew Wiles berhasil membuktikan teorema tersebut untuk pertama kali dan ia mempublikasikannya pada tahun 1995. Bukti yang dituliskan oleh Andrew Wiles sendiri terdiri dari 200-an lebih halaman. Hal ini menunjukkan seberapa sulitnya untuk membuktikan teorema ini.
Selanjutnya, Pembaca dapat mengerjakan soal-soal berikut sebagai latihan.
- Tentukan bilangan bulat positif terbesar yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk
untuk suatu bilangan bulat positif
dan
dengan
komposit.
- Tentukan semua bilangan asli
sehingga
merupakan bilangan kuadrat sempurna.
- Tentukan semua solusi bulat positif persamaan
0 Comments