Salah satu materi yang diujikan pada Olimpiade Sains Nasional (OSN) [sekarang dikenal dengan nama Kompetisi Sains Nasional] teori bilangan. Pada OSN tahun 2008 yang diselenggarakan di Makasar pada tanggal 8-14 Agustus, soal materi teori bilangan yang diujikan berhubungan dengan keterbagian dan sifat bilangan saling prima. Pada artilkel ini, diberikan soal dan pembahasan soal OSN 2008 hari pertama soal teori bilangan.

Soal

Cari semua bilangan asli yang dapat dinyatakan dalam bentuk

$\begin{equation*} \frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \end{equation*}$

untuk suatu $a,b$ , dan $c$ bilangan asli dengan $\text{FPB}(a,b)=\text{FPB}(b,c)=\text{FPB}(c,a)=1$ .

OSN 2008 Hari Pertama Soal Teori Bilangan

Pembahasan

Diketahui $\text{FPB}(a,b)=\text{FPB}(b,c)=\text{FPB}(c,a)=1$ . Misalkan

$\begin{equation*} n=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b},~~n\in \mathbb{N}. \end{equation*}$

Kedua ruas dikalikan dengan $abc$ diperoleh

$\begin{equation*} abcn=ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a). \end{equation*}$

Selanjutnya, diperhatikan bahwa ruas kiri habis dibagi oleh $a$ , dengan demikian,ruas kanan juga habis dibagi oleh $a$ . Dengan kata lain

$\begin{equation*} a\mid ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a) \end{equation*}$

Diperhatikan bahwa :

$\begin{equation*} \begin{split} a&\mid ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)\\ a&\mid ab(a+b)+ca(c+a)\\ a&\mid ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)-ab(a+b)-ca(c+a)\\ a&\mid bc(b+c)\\ \end{split} \end{equation*}$

Karena $\text{FPB}(a,b)=1$ dan $\text{FPB}(a,c)=1$ , diperoleh

$\begin{equation*} a\mid b+c \end{equation*}$

Dengan demikian, diperoleh

$\begin{equation*} a\mid a+b+c \end{equation*}$

Dengan cara dan argumen yang sama, diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} b &\mid a+b+c\\ c & \mid a+b+c \end{split} \end{equation*}$

Selanjutnya, karena $\text{FPB}(a,b)=\text{FPB}(b,c)=\text{FPB}(c,a)=1$ , diperoleh

$\begin{equation*} abc\mid a+b+c \end{equation*}$

Tanpa mengurangi keumuman, misalkan $a\leq b\leq c$ . Karena

$\begin{equation*} abc\mid a+b+c \end{equation*}$

diperoleh

$\begin{equation*} abc\leq a+b+c\leq 3c \end{equation*}$

Karena $c\in \mathbb{N}$ , diperoleh $ab\leq 3$ . Dengan demikian, pasangan $(a,b)$ yang mungkin adalah $(1,1),(1,2),(1,3)$ .
Selanjutnya diperhatikan kasus-kasus dibawah ini :

Untuk $(a,b)=(1,1)$
$\begin{equation*} \begin{split} c&\mid a+b\\ c&\mid 2 \end{split} \end{equation*}$

Diperoleh $c=1,2$ . Dengan demikian pasangan $(a,b,c)$ yang mungkin adalah $(1,1,1),(1,1,2)$ .
Untuk $(a,b)=(1,2)$
$\begin{equation*} \begin{split} c&\mid a+b\\ c&\mid 3 \end{split} \end{equation*}$

karena $c\geq b=2$ diperoleh $c=3$ . Diperoleh pasangan $(a,b,c)$ yang mungkin adalah $(1,2,3)$
Untuk $(a,b)=(1,3)$
$\begin{equation*} \begin{split} c&\mid a+b\\ c&\mid 4 \end{split} \end{equation*}$

karena $c\geq b=3$ diperoleh $c=4$ . Diperoleh pasangan $(a,b,c)$ yang mungkin adalah $(1,3,4)$
Selanjutnya, dilakukan pengecekan untuk pasangan (a,b,c).
Untuk $(a,b,c)=(1,1,1)$
Diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} n&=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\\ &=\frac{1+1}{1}+\frac{1+1}{1}+\frac{1+1}{1}\\ &=2+2+2\\ &=6\in \mathbb{N} \end{split} \end{equation*}$

dan mememenuhi $\text{FPB}(1,1)=\text{FPB}(1,1)=\text{FPB}(1,1)=1$ . Jadi diperoleh $n=6$ memenuhi syarat pada soal.
Untuk $(a,b,c)=(1,1,2)$
Diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} n&=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\\ &=\frac{1+1}{2}+\frac{1+2}{1}+\frac{2+1}{1}\\ &=1+3+3\\ &=7\in \mathbb{N} \end{split} \end{equation*}$

dan mememenuhi $\text{FPB}(1,1)=\text{FPB}(1,2)=\text{FPB}(2,1)=1$ . Jadi diperoleh $n=7$ memenuhi syarat pada soal.
Untuk $(a,b,c)=(1,2,3)$
Diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} n&=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\\ &=\frac{1+2}{3}+\frac{2+3}{1}+\frac{3+1}{2}\\ &=1+5+2\\ &=8\in \N \end{split} \end{equation*}$

dan mememenuhi $\text{FPB}(1,2)=\text{FPB}(2,3)=\text{FPB}(3,1)=1$ . Jadi diperoleh $n=8$ memenuhi syarat pada soal.
Untuk $(a,b,c)=(1,3,4)$
Diperoleh

$\begin{equation*} \begin{split} n&=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\\ &=\frac{1+3}{4}+\frac{3+4}{1}+\frac{4+1}{3}\\ &=1+7+1\frac{2}{3}\\ &=9\frac{2}{3} \notin \mathbb{N} \end{split} \end{equation*}$

Jadi pasangan $(a,b,c)=(1,3,4)$ tidak menghasilkan nilai $n$ yang memenuhi syarat pada soal.

Dari penjabaran di atas, diperoleh semua nilai bilangan asli $n$ yang dapat dinyatakan dalam bentuk

$\begin{equation*} n=\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b} \end{equation*}$

untuk suatu bilangan asli $a,b,c$ dengan $\text{FPB}(a,b)=\text{FPB}(b,c)=\text{FPB}(c,a)=1$ adalah $n=6,7,8$ .

Pembahasan OSN 2008

Published by iwan.ernanto on August 2, 2020August 2, 2020

Soal

Pembahasan

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Pembahasan OSN 2008

Pembahasan OSN 2008

Pembahasan OSN 2008

Published by iwan.ernanto on August 2, 2020August 2, 2020

Soal

Pembahasan

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Related Posts

Pembahasan OSN 2008

Pembahasan OSN 2008