Sistem bilangan asli sudah dikenalkan ke masyarakat umum sejak pendidikan di tingkat sekolah dasar (SD). Pada pendidikan di tingkat SD ini, siswa sudah dikenalkan bilangan 1, 2 ,3 dan seterusnya. Namun demikian, siswa belum diajarkan bagaimana proses pembentukan bilangan-bilangan tersebut. Pada artikel ini akan dijelaskan bagaimana proses pembentukan sistem bilangan asli.
Mempelajari sistem bilangan asli merupakan salah satu tahapan yang perlu dilakukan sebelum mempelajari sistem bilangan bulat.
Definisi 1
[box]
Diketahui himpunan yang memuat
dan dilengkapi operasi biner “+” pada
. Jika
memenuhi:
- Untuk setiap
, jika4.1
dan4.2
,
maka,
maka disebut sistem bilangan asli (himpunan bilangan asli). Selanjutnya untuk setiap
disebut bilangan asli.
[/box]
Dari sistem aksioma di atas dapat dikonstruksi:
Teorema 1
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Dari definisi 1
[/learn_more]
Sebagai latihan, pembaca dapat membuktikan pernyataan-pernyataan berikut ini.
Berdasarkan aksiomatika dapat diturunkan teorema berikut ini.
Teorema 2
Untuk setiap berlaku
.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Dibentuk . jelas
. Berdasar A (Aksioma) 1,
, sehingga
.
Misalkan , yaitu
. Namun berdasarkan A2,
, sehingga
; dan sesuai A4,
. Akibatnya untuk
semua berlaku
. Jadi
untuk setiap
.
[/learn_more]
Teorema 3
Untuk setiap berlaku
.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Diambil sebarang . Dibentuk
. Berdasarkan Teorema 2
. Dimisalkan
. Hal ini berarti
. Andai
akan berakibat
, sehingga menurut A2
. Kontradiksi dengan hipotesa induksi. Jadi
dan menurut A4 berakibat sifat terbukti.
[/learn_more]
Sifat berikutnya yang dapat diturunkan berdasarkan sistem aksiomatika himpunan beserta operasi “
” adalah sifat asosiatif.
Teorema 4
Untuk setiap memenuhi
.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Diambil sebarang . Pembuktian dengan induksi matematika dikenakan pada
dengan membentuk
Berdasarkan A3, diperoleh . Dimisalkan benar untuk
, yaitu
.
Akibatnya . Sesuai A4,
, sehingga untuk setiap
,
.
[/learn_more]
Berdasarkan Teorema 4, hasil jumlahan sebanyak
suku
cukup ditulis .
Teorema 5
Diketahui jumlahan bilangan 1 sebanyak
suku dan
. jumlahan bilangan
sebanyak
suku. Jika banyaknya
penyusun
lebih sedikit daripada di
, maka
.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Karena untuk suatu
, dengan
. Akibatnya
.
Untuk selanjutnya ditulis
. Misalkan
Jelas dan jika
, berlaku
Sesuai Aksioma 4 berlaku .
.
[/learn_more]
Sifat berikutnya yang berlaku terhadap operasi “” adalah komutatif. Untuk itu diperlukan lemma berikut ini sebagai landasan.
Lemma 1
Untuk setiap ,
.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Dibentuk . Jelas
. Karena
, maka
. Selanjutnya dimisalkan
, yang berarti
. Akibatnya
, sehingga
; dan berdasarkan A4,
.
[/learn_more]
Teorema 6
Untuk setiap berlaku
.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Diambil sebarang . Dibentuk
. Jelas
. Selain itu menurut Lemma 1,
. Selanjutnya dimisalkan
. Berarti
.
Akibatnya , sehingga menurut A4,
. Dengan kata lain untuk setiap
,
.
[/learn_more]
Teorema 7 [Sifat Kanselatif]
Dalam sistem bilangan berlaku sifat kanselatif kiri dan kanan:
- Untuk setiap
,
- Untuk setiap
,
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Hanya dibuktikan untuk 1. Sifat 2 dijadikan latihan. Bukti menggunakan kontraposisinya, yaitu
Diambil sebarang dan
, dengan
. Dibentuk
. Karena
jelas
Dimisalkan , dengan kata lain
. Akibatnya
sehingga . Sesuai A4, dapat disimpulkan
, sehingga untuk setiap
, jika
, maka
untuk setiap
.
[/learn_more]
Latihan
- Teorema 7, bagian 2.
- Untuk setiap
berlaku
.
0 Comments