Pada himpunan dapat didefinisikan relasi
dengan definisi untuk setiap
Berdasarkan relasi didefinisikan relasi
dengan definisi untuk setiap
Mudah dibuktikan jika dan hanya jika
, sehingga diperoleh
jika dan hanya jika dapat ditemukan
yang memenuhi
Teorema 1
Relasi merupakan relasi urutan parsial tegas dan untuk setiap
dan
di
berlaku tepat satu dari pernyataan-pernyataan
.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
- Diambil sebarang
dan diandaikan
. Akibatnya terdapat
yang memenuhi
. Sesuai Teorema 3 pada artikel Sistem Bilangan Bulat
. Kontradiksi dengan
. Akibatnya
.Untuk sebarang
jika
dapat ditemukan
yang memenuhi
. Jika
akibatnya terdapat
sehingga
, sehingga
Sesuai Teorema 3 artikel Sistem Bilangan Bulat
, sedangkan
. Kontradiksi. Jadi
.Selanjutnya untuk sebarang
dan
di
yang memenuhi
dan
dapat ditemukan
sehingga
dan
. Akibatnya
dengan
. Dapat disimpulkan
.
- Diambil sebarang
dan
elemen
. Dimisalkan
:
(a) Jika, jelas dapat ditemukan
yang memenuhi
atau
(b) Jikadan
, berlaku
.
(c) Jikadan
, dapat ditemukan
yang memenuhi
. Diperoleh
dengan
.
(d) Jikadan
untuk suatu
,
.
(e) Jikadan
untuk suatu
dan
di
, dari bukti awal
dapat ditentukanatau
. Jika
(analog untuk kasus
), dapat ditemukan
yang memenuhi
. Akibatnya
[/learn_more]
Sebagian langkah bukti yang analog tidak dibahas dan ditinggal sebagai latihan.
Teorema 2
Diketahui dan
bilangan bulat.
- Jika
, maka
.
- Jika
, maka
.
- Diketahui
. Jika
, maka
. Jika
, maka
.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Hanya akan dibuktikan untuk 3. Diketahui . Dapat ditemukan
yang memenuhi
. Akibatnya
. Jika
, berlaku
, sehingga terdapat
yang memenuhi
. Jadi
. Jika
, maka
. Akibatnya
dengan . Karena
, maka
, sehingga
.
[/learn_more]
Seperti yang telah dibahas dalam sistem bilangan asli, setiap bilangan asli berlaku
untuk suatu bilangan asli
. Hal ini berakibat untuk sebarang bilangan bulat
,
, sehingga diperoleh sifat berikut ini:
Lemma 1
Untuk sebarang bilangan bulat tidak mungkin terdapat
yang memenuhi
.
Berbeda dengan sistem bilangan asli, pada sistem bilangan bulat tidak dikenal sifat “Well Ordering set”, yang menyatakan setiap himpunan tak kosong selalu memiliki elemen paling kecil. Namun demikian sistem bilangan bulat masih mempertahankan sifat interval hingga, yaitu untuk setiap dan
di
jika
, maka banyaknya bilangan bulat yang terletak di antara kedua bilangan tersebut hanya sebanyak hingga.
Selanjutnya untuk sebarang ,
, dan
di
notasi
menyatakan
dan
. Demikian juga notasi
menyatakan
dan
; serta notasi-notasi sejenis.
Definisi 1
Diketahui dan
didefinisikan himpunan-himpunan sebagai berikut ini:
Sebagai gambaran diberikan beberapa contoh berikut ini
Selain itu mudah ditunjukkan bahwa untuk sebarang :
jika dan hanya jika
.
jika dan hanya jika
.
jika dan hanya jika
.
jika dan hanya jika
.
Sebagai bukti hanya akan ditunjukkan untuk kasus 1 dan 4. Jika , berarti
. Sebaliknya jika
, maka
atau terdapat
yang memenuhi
, dengan
. Untuk
diperoleh
. Untuk
,
Jadi
Untuk kasus . Jika
, diperoleh untuk sebarang
yang memenuhi
akan berakibat
maka terdapat yang memenuhi
. Akibatnya
, sehingga
. Kontradiksi dengan Lemma 1. Dapat disimpilkan
. Sebaliknya jika
, berlaku
.
0 Comments