Sistem Bilangan Bulat

Seiring dengan perkembangan budaya masyarakat baik dalam ilmu pengetahuan, kehidupan sehari-hari maupun dalam ekonomi sistem bilangan asli yang telah berkembang dianggap masih belum mampu mencukupi fenomena dunia matematika serta kebutuhan masyarakat tentang alat hitung. Khususnya bilangan yang bisa mewakili “ketiadaan unsur” dalam suatu himpunan serta konsep “kekurangan” sebanyak tertentu dari suatu kondisi. Sebagai contoh Aladin memiliki 3 ekor kambing. Untuk menjamu ayah Yasmin dan rombongan keluarga Aladin akan memotong kambing. Tentu saja jika 3 kambing tersebut disembelih 2, masalah banyaknya kambing Aladin yang tersisa dapat dirumuskan secara matematis, yaitu

$3 - 2 = 1$

Namun jika 3 ekor kambing itu dipotong semua, masalah tidak bisa dirumuskan secara matematis menggunakan sistem bilangan asli dalam artikel sebelumnya (Sistem Bilangan Asli ) dengan

$3 - 3 = \square$

karena tidak ada bilangan asli yang bisa mengisi $\square$ .

Demikian juga pada masalah berikut ini. Misalkan ternyata rombongan tersebut sangat besar, sehingga dibutuhkan 4 kambing untuk dipotong. Padahal di kandang Aladin hanya tersedia 3 kambing. Terdapat “kekurangan” 1 ekor kambing yang tidak bisa dijelaskan menggunakan sistem bilangan asli yang sudah dikembangkan. Untuk mencukupinya Aladin harus “meminjam” 1 kambing tetangganya.

Artikel ini sangat bermanfaat untuk pembaca untuk mengenal salah satu dasar matematika yaitu bilangan bulat dan ladasan pengkonstruksiannya.

Selanjutnya, solusi dari persamaan $x + n = y$ untuk $x, y \in \mathbb{N}$ yang diberikan, belum tentu bisa diperoleh di $\mathbb{N}$ . Solusi $n \in \mathbb{N}$ , hanya bisa
diperoleh untuk $y > x$ . Untuk persamaan $5 + n = 3$ , solusi $n$ bukan elemen $\mathbb{N}$ . Untuk itu diperlukan himpunan $X$ yang merupakan perluasan $\mathbb{N}$ , sehingga persamaan tersebut selalu bisa ditemukan solusinya.

Untuk itu perlu dikonstruksi sistem bilangan baru yang memuat sistem bilangan asli sebagai subbagiannya dengan operasi-operasi yang berlaku pada sistem yang baru merupakan perluasan dari operasi-operasi pada $\mathbb{N}$ .

Definisi 1

Diketahui $\mathbb{N}$ himpunan semua bilangan asli. Diambil $\mathbb{N}^{-}$ sebarang himpunan yang berbeda semua elementnya sehingga

$\mathbb{N} \cap \mathbb{N}^{-} = \emptyset~~~{\rm dan}~~~\sigma: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}^{-}$

pemetaan bijektif. Jadi $\mathbb{N}^{-} = \{ \sigma(n) | n \in \mathbb{N} \}$ . Selanjutnya diambil $0 \not\in \mathbb{N} \cup \mathbb{N}^{-}$ .

Himpunan $\mathbb{Z} = \{ 0 \} \cup \mathbb{N} \cup \mathbb{N}^{-}$ yang dilengkapi dengan operasi biner “ $+_{\mathbb{Z}}$ ” dan “ $\cdot_{\mathbb{Z}}$ ” yang meemenuhi:

Untuk semua $u, v \in \mathbb{Z}$ , didefinisikan $u +_{\mathbb{Z}} v$ salah satu dari; untuk masing-masing $a, b \in \mathbb{N}$ :
1.1 $a +_{\mathbb{Z}} b = a +_{\mathbb{N}} b$
1.2 $\sigma(a) +_{\mathbb{Z}} \sigma(b) = \sigma(a +_{\mathbb{N}} b)$
1.3 $a +_{\mathbb{Z}} \sigma(b) = a -_{\mathbb{N}} b$ , jika $a > b$ ,
$~~~~~a +_{\mathbb{Z}} \sigma(b) = \sigma(b -_{\mathbb{N}} a)$ , jika $b > a$ ,
$~~~~~a +_{\mathbb{Z}} \sigma(b) = 0$ , jika $b = a$
1.4 $\sigma(a) +_{\mathbb{Z}} b = b +_{\mathbb{Z}} \sigma(a)$
1.5 $u +_{\mathbb{Z}} 0 = u = 0 +_{\mathbb{Z}} u$
Untuk semua $u, v \in \mathbb{Z}$ , didefinisikan $u \cdot_{\mathbb{Z}} v$ salah satu dari; untuk masing-masing $a, b \in \mathbb{N}$ :
2.1 $a \cdot_{\mathbb{Z}} b = a \cdot_{\mathbb{N}} b$
2.2 $\sigma(a) \cdot_{\mathbb{Z}} \sigma(b) = \sigma(a \cdot_{\mathbb{N}} b)$
2.3 $a \cdot_{\mathbb{Z}} \sigma(b) = \sigma(a \cdot_{\mathbb{N}} b)$
2.4 $\sigma(a) \cdot_{\mathbb{Z}} b = \sigma(a \cdot_{\mathbb{Z}} b)$
2.5 $u \cdot_{\mathbb{Z}} 0 = 0 = 0 \cdot_{\mathbb{Z}} u$

Untuk mempermudah penulisan pada artikel ini yang ditulis dengan $"+"$ dan $"\cdot"$ adalah $"+_{\mathbb{Z}}"$ dan $"\cdot_{\mathbb{Z}}"$ . Dari definisi tersebut terlihat dengan jelas, bahwa $\mathbb{N} \subseteq \mathbb(Z)$ dan operasi $"+_{\mathbb{Z}}"$ merupakan perluasan dari $"+_{\mathbb{N}}"$ ; sedangkan $"\cdot_{\mathbb{Z}}"$ merupakan perluasan dari $"\cdot_{\mathbb{N}}"$ .

Berdasarkan definisi operasi penjumlahan dan perkalian pada $\mathbb{Z}$ dapat dibuktikan bahwa kedua operasi tersebut bersifat asosiatif.

Teorema 1

Untuk setiap $k, m, n \in \mathbb{Z}$ berlaku:

$(k + m) + n = k + (m + n)$ , dan
$(km)n = k(mn)$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Diambil sebarang $k, m, n \in \mathbb{Z}$ akan dibuktikan assosiatif terhadap $"+"$ .(a) Jika $k = 0$ atau $m = 0$ atau $n = 0$
Jika $k = 0$ , $k + m = m$ dan $k + (m + n) = m + n = (k + m) + n$
Jika $m = 0$ , $k + m = k$ dan $m + n = n$ , sehingga $(k + m) + n = k + (m + n)$
Jika $n = 0$ , $m + n = m$ dan $(k + m) + n = k + m = k + (m + n)$

(b) Jika $k\in \mathbb{N}$ :
i. Jika $m, n \in \matrhbb{N}$ , $(k + m) + n = (k +_{\mathbb{N}} m) +_{\mathbb{N}} n = k +_{\mathbb{N}} (m +_{\mathbb{N}} n) = k + (m + n)$
ii. Jika $m \in \mathbb{N}$ , $n = \sigma(a)$ untuk suatu $a \in \mathbb{N}$ berlaku $(k + m) + n =$

$\begin{eqnarray*} a < m & \Rightarrow & (k +_{\mathbb{N}} m) -_{\mathbb{N}} a = k +_{\mathbb{N}} (m -_{\mathbb{N}} a),\\ a = m & \Rightarrow & (k +_{\mathbb{N} m) -_{\mathbb{N}} a = k = k + 0,\\ m < a < k +_{\mathbb{N}} m & \Rightarrow & (k +_{\mathbb{N}} m) -_{\mathbb{N}} a = k + \sigma(a - m) = k + (m + \sigma(a)),\\ m < a = k +_{\mathbb{N}} m & \Rightarrow & (k +_{\mathbb{N}} m) -_{\mathbb{N}} a = 0 = k + \sigma(k) \\ & & = k + \sigma(a - m) = k + (m + \sigma(a)),\\ k +_{\mathbb{N}} m < a & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} (k +_{\mathbb{N}} m)) = \sigma((a -_{\mathbb{N}} m) -_{\mathbb{N}} k))\\ & & \hspace{2.9cm}~~ = k + \sigma(a -_{\mathbb{N}} m), \end{eqnarray*}$

$= k + (m + n)$ .

iii. Jika $m = \sigma(a)$ untuk suatu $a \in \mathbb{N}$ , berlaku $(k + m) + n =$

$\begin{eqnarray*} a < k, a < n \in \mathbb{N} & \Rightarrow & (k -_{\mathbb{N}} a) +_{\mathbb{N}} n = k +_{\mathbb{N}} (n -_{\mathbb{N}} a), \\ & & \hspace{2.9cm}~~ = k + (\sigma(a) + n)\\ a < k, a = n \in \mathbb{N}& \Rightarrow & (k -_{\mathbb{N}} a) +_{\mathbb{N}} n = k = k + (\sigma(a) + n), \\ a < k, n < a \in \mathbb{N} & \Rightarrow & (k -_{\mathbb{N}} a) +_{\mathbb{N}} n = k -_{\mathbb{N}} (a -_{\mathbb{N}} n), \\ & & = k + \sigma(a - n) = k + (\sigma(a) + n)\\ a = k, a < n \in \mathbb{N} & \Rightarrow & 0 + n = k +_{\mathbb{N}} (n -_{\mathbb{N}} k) = k +_{\mathbb{N}} (n -_{\mathbb{N}} a), \\ & & = k + (n -_{\mathbb{N}} a) = k + (\sigma(a) + n)\\ a = k, a = n \in \mathbb{N} & \Rightarrow & 0 + n = k + 0 = k + (\sigma(a) + n), \\ a = k, n < a \in \mathbb{N} & \Rightarrow & 0 + n = n = (k +_{\mathbb{N}} n) - _{\mathbb{N}} a = k -_{\mathbb{N}} (a -_{\mathbb{N}} n), \\ & & = k + \sigma(a -_{\mathbb{N}} n) = k + (\sigma(a) + n)\\ k < a, a < n \in \mathbb{N} & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} k) +_{\mathbb{N}} n = n -_{\mathbb{N}} (a -_{\mathbb{N}} k), \\ & & = (n +_{\mathbb{N}} k) -_{\mathbb{N}} a = (k +_{\mathbb{N}} n) -_{\mathbb{N}} a\\ & & = k +_{\mathbb{N}} (n -_{\mathbb{N}} a) = k + (\sigma(a) + n)\\ k < a, a = n \in \mathbb{N} & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} k) +_{\mathbb{N}} n = n -_{\mathbb{N}} (a -_{\mathbb{N}} k), \\ & & = (n +_{\mathbb{N}} k) -_{\mathbb{N}} a = (k +_{\mathbb{N}} n) -_{\mathbb{N}} a\\ & & = (k +_{\mathbb{N}} n) -_{\mathbb{N}} n) = k = k + (\sigma(a) + n)\\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k < a, n < a \in \mathbb{N}: & & \\ a < k + n & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} k) + n = n -_{\mathbb{N}} (a -_{\mathbb{N}} k), \\ & & = (n +_{\mathbb{N}} k) -_{\mathbb{N}} a = (k +_{\mathbb{N}} n) -_{\mathbb{N}} a = k -_{\mathbb{N}} (a -_{\mathbb{N}} n)\\ & & = k + \sigma(a -_{\mathbb{N}} n) = k + (\sigma(a) + n)\\ a = k + n & \Rightarrow & (k + \sigma(a)) + n) = \sigma(a -_{\mathbb{N}} k) + n = 0 \\ & & = k + \sigma(a -_{\mathbb{N}} n) = k + (\sigma(s) + n)\\ k + n < a & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} (k +_{\mathbb{N}} n)) = \sigma((a -_{\mathbb{N}} n) -_{\mathbb{N}} k)) \\ & & = k + \sigma(a -_{\mathbb{N}} n) = k + (\sigma(a) + n)\\ \end{eqnarray*}$

iv. Jika $m = \sigma(a)$ dan $n = \sigma(b)$ untuk suatu $a, b \in \mathbb{N}$ , berlaku $(k + m) + n =$

$\begin{eqnarray*} a + b < k & \Rightarrow & (k -_{\mathbb{N}} a) +_{\mathbb{N}} n = (k -_{\mathbb{N}} a) -_{\mathbb{N}} b, \\ & & = k -_{\mathbb{N}} (a + _{\mathbb{N}} b) = k + \sigma(a +_{\mathbb{N}} b)\\ & & = k + (\sigma(a) + \sigma(b)\\ a < k, a + b = k & \Rightarrow & (k -_{\mathbb{N}} a) + \sigma(b) = 0 = k + \sigma(a +_{\mathbb{N}} b) \\ & & = k + (\sigma(a) + \sigma(b))\\ a < k, k < a + b & \Rightarrow & (k -_{\mathbb{N}} a) + \sigma(b) = \sigma(b -_{\mathbb{N}} (k -_{\mathbb{N}} a))\\ & & = \sigma((a +_{\mathbb{N}} b) -_{\mathbb{N}} k) = k + \sigma(a +_{\mathbb{N}} b)\\ a = k & \Rightarrow & 0 + \sigma(b) = \sigma((a +_{\mathbb{N}} b) -_{\mathbb{N}} k)\\ & & = k + \sigma(a +_{\mathbb{N}} b) = k + (\sigma(a) + \sigma(b))\\ k < a & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} k) + \sigma(b) = \sigma((a -_{\mathbb{N}} k) +_{\mathbb{N}} b) \\ & & = \sigma(a +_{\mathbb{N}} b) -_{\mathbb{N}} k) = k + \sigma(a +_{\mathbb{N}} b)\\ & & = k + (\sigma(a) + \sigma(b)) \end{eqnarray*}$

$= k + (m + n)$ .

(c) Jika $k = \sigma(a)$ untuk suatu $a \in \mathbb{N}$

i. $m \in \mathbb{N}$ dan $n \in \mathbb{N}$ , $(k + m) + n) =$

$\begin{eqnarray*} a < m & \Rightarrow & (m -_{\mathbb{N}} a) + n = (m +_{\mathbb{N}} n) -_{\mathbb{N}} a), \\ & & = \sigma(a) + (m +_{\mathbb{N}} n) = k + (m + n)\\ a = m & \Rightarrow & 0 + n = n = (m +_{\mathbb{N}} n) -_{\mathbb{N}} a\\ & & = \sigma(a) + (m +_{\mathbb{N}} n) = k + (m + n)\\ m < a < m +_{\mathbb{N}} n & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} m) + n = n -_{\mathbb{N}} (a -_{\mathbb{N}} m)\\ & & = (m +_{\mathbb{N}} n) -_{\mathbb{N}} a = \sigma(a) + (m +_{\mathbb{N}} n)\\ m < a = m +_{\mathbb{N}} n & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} m) + n = 0 = \sigma(a) + (m +_{\mathbb{N}} n) \\ m +_{\mathbb{N}} n < a & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} m) + n = \sigma((a -_{\mathbb{N}} m) -_{\mathbb{N}} n))\\ & & = \sigma(a +_{\mathbb{N}} (m +_{\mathbb{N}} n)) = \sigma(a) + (m +_{\mathbb{N}} n) \end{eqnarray*}$

$= k + (m + n)$ .

ii. $m \in \mathbb{N}$ dan $n =\sigma(b)$ untuk suatu $b \in \mathbb{N}$ , $(k + m) + n =$

$\begin{eqnarray*} a + b < m & \Rightarrow & (m -_{\mathbb{N}} a) + \sigma(b) = (m -_{\mathbb{N}} a) -_{\mathbb{N}} b), \\ & & = m -_{\mathbb{N}} (a +_{\mathbb{N}} b) = m -_{\mathbb{N}} (b +_{\mathbb{N}} a\\ & & = (m -_{\mathbb{N}} b) -_{\mathbb{N}} a) = \sigma(a) + (m -_{\mathbb{N}} b)\\ & & = k + (m + \sigma(b))\\ a < m = a + b & \Rightarrow & (m -_{\mathbb{N}} a) + \sigma(b) = 0 = \sigma(a) + (m -_{\mathbb{N}} b)\\ & & = k + (m + \sigma(b))\\ a < m < a + b, b < m & \Rightarrow & (m -_{\mathbb{N}} a) + \sigma(b) = \sigma(b -_{\mathbb{N}} (m -_{\mathbb{N}} a))\\ & & = \sigma(a -_{\mathbb{N}} (m -_{\mathbb{N}} b)) = \sigma(a) + (m + \sigma(b))\\ a < m, b = m & \Rightarrow & (m -_{\mathbb{N}} a) + \sigma(b) = \sigma(b -_{\mathbb{N}} (m -_{\mathbb{N}} a))\\ & & = \sigma(a) = \sigma(a) + (m + \sigma(b))\\ a < m, m < b & \Rightarrow & (m -_{\mathbb{N}} a) + \sigma(b) = \sigma(b -_{\mathbb{N}} (m -_{\mathbb{N}} a))\\ & & = \sigma(a +_{\mathbb{N}} (b -_{\mathbb{N}} m)) = \sigma(a) + \sigma(b -_{\mathbb{N}} m)\\ & & = k + (m + \sigma(b)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a = m, b < m & \Rightarrow & 0 + \sigma(b) = \sigma(b) = \sigma((a +_{\mathbb{N}} b) -_{\mathbb{N}} m\\ & & = \sigma(a -_{\mathbb{N}} (m -_{\mathbb{N}} b) = \sigma(a) + (m -_{\mathbb{N}} b)\\ & & = k + (m + \sigma(b))\\ a = m = b & \Rightarrow & 0 + \sigma(b) = \sigma(a) = k + (m + \sigma(b))\\ a = m < b & \Rightarrow & 0 + \sigma(b) = \sigma(a +_{\mathbb{N}} (b -_{\mathbb{N}} m)\\ & & \sigma(a) + \sigma(b -_{\mathbb{N}} m) = k + (m + \sigma(b))\\ b < m < a & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} m) + \sigma(b) = \sigma(a -_{\mathbb{N}} m +_{\mathbb{N}} b)\\ & & = \sigma(a -_{\mathbb{N}} (m -_{\mathbb{N}} b)) = \sigma(a) + (m -_{\mathbb{N}} b)\\ & & = k + (m + \sigma(b))\\ b = m < a & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} m) + \sigma(b) = \sigma((a -_{\mathbb{N}} m) +_{\mathbb{N}} b))\\ & & = \sigma(a) = \sigma(a) + (m + \sigma(b))\\ m < a, b & & = \sigma(a -_{\mathbb{N}} m) + \sigma(b) = \sigma(a +_{\mathbb{N}} b -_{\mathbb{N}} m)\\ & & = \sigma(a) + \sigma(b -_{\mathbb{N}} m) = k + (m + \sigma(b)) \end{eqnarray*}$

$= k + (m + n)$ .

iii. Terdapat $b \in \mathbb{N}$ sehingga $m \sigma(b)$ dan $n \in \mathbb{N}$ , $(k + m) + n) =$

$\begin{eqnarray*} a + b < n & \Rightarrow & \sigma(a +_{\mathbb{N}} b) + n = n -_{\mathbb{N}} (a +_{\mathbb{N}} b))\\ & & = n -_{\mathbb{N}} (b +_{\mathbb{N}} a)) = (n -_{\mathbb{N}} b) -_{\mathbb{N}} a)\\ & & = \sigma(a) + (n -_{\mathbb{N}} b) = \sigma(a) + (\sigma(b) + n)\\ n = a + b & \Rightarrow & \sigma(a +_{\mathbb{N}} b) + n = 0 = \sigma(a) + (n -_{\mathbb{N}} b)\\ & & = \sigma(a) + (\sigma(b) + n)\\ b < n < a + b & \Rightarrow & \sigma(a +_{\mathbb{N}} b) + n = (a +_{\mathbb{N}} b) -_{\mathbb{N}} n)\\ & & = a +_{\mathbb{N}} (n -_{\mathbb{N}} b) = \sigma(a) + (\sigma(b) + n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = n & \Rightarrow & \sigma(a +_{\mathbb{N}} b) + n = \sigma((a +_{\mathbb{N}} b)) -_{\mathbb{N}} n) = \sigma(a)\\ & & = \sigma(a) + (\sigma(b) + n)\\ n < b & \Rightarrow & \sigma(a +_{\mathbb{N}} b) + n = \sigma(a +_{\mathbb{N}} b) -_{\mathbb{N}} n)\\ & & = \sigma(a +_{\mathbb{N}} (b -_{\mathbb{N}} n)) = \sigma(a) + \sigma(b - _{\mathbb{N}} n)\\ & & = k + (\sigma(b) + n)\\ m < a = m +_{\mathbb{N}} n & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} m) + n = 0 = \sigma(a) + (m +_{\mathbb{N}} n) \\ m +_{\mathbb{N}} n < a & \Rightarrow & \sigma(a -_{\mathbb{N}} m) + n = \sigma((a -_{\mathbb{N}} m) -_{\mathbb{N}} n))\\ & & = \sigma(a +_{\mathbb{N}} (m +_{\mathbb{N}} n)) = \sigma(a) + (m +_{\mathbb{N}} n) \end{eqnarray*}$

$= k + (m + n)$ .

iv. Terdapat $b, c \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $m = \sigma(b)$ dan $n =\sigma(c)$ ,

$\begin{eqnarray*} (k + m) + n & = & (\sigma(a) + \sigma(b)) + \sigma(c) = \sigma(a +_{\mathbb{N}} b) + \sigma(c)\\ & = & \sigma((a +_{\mathbb{N}} b) +_{\mathbb{N}} c) = \sigma(a +_{\mathbb{N}} (b +_{\mathbb{N}} c)) \\ & = & \sigma(a) + \sigma(b +_{\mathbb{N}} c) = k + (\sigma(b) + \sigma(c) \end{eqnarray*}$
Untuk $(km)n = k(mn)$ hanya akan dibuktikan sebagian. Bagian yang belum dibuktikan diberikan untuk latihan. Diambil sebarang $k, m, n \in \mathbb{Z}$ .
(a) Jika $k = 0$ atau $m = 0$ atau $n = 0$ berlaku

$(km)n = 0n = 0 = 0(mn) = k(mn)$

Kasus $m = 0$ atau $n = 0$ analog.

(b) Jika $k, m, n \in\mathbb{N}$

$(km)n = (k\cdot_{\mathbb{N}}m)\cdot_{\mathbb{N}} n = k\cdot_{\mathbb{N}}(m \cdot_{\mathbb{N}} n) = k(mn).$

(c) Jika $k, m \in \mathbb{N}$ dan $n \sigma(a)$ untuk suatu $a \in \mathbb{N}$

$\begin{eqnarray*} (km)n & = & (k\cdot_{\mathbb{N}}m)\sigma(a) = \sigma((k\cdot_{\mathbb{N}}m) \cdot_{\mathbb{N}} a)\\ & = & \sigma(k\cdot_{\mathbb{N}} (m \cdot_{\mathbb{N}} a)) = k(\sigma(m\cdot_{\mathbb{N}} a) = k(m\sigma(a)) \end{eqnarray*}$

(d) Jika $k \in \mathbb{N}$ , $m = \sigma(a)$ , dan $n \sigma(b)$ untuk suatu $a, b \in \mathbb{N}$

$\begin{eqnarray*} (km)n & = & (\sigma(k\cdot_{\mathbb{N}}a)\sigma(a) = (k\cdot_{\mathbb{N}}a) \cdot_{\mathbb{N}} b)\\ & = & k\cdot_{\mathbb{N}} (a \cdot_{\mathbb{N}} b)) = k(\sigma(a)\sigma(b)) = k(mn) \end{eqnarray*}$

(e) Jika $k = \sigma(a)$ , $m = \sigma(b)$ , dan $n \sigma(c)$ untuk suatu $a, b, \in \mathbb{N}$

$\begin{eqnarray*} (km)n & = & (a\cdot_{\mathbb{N}}b)\sigma(c) = \sigma((a\cdot_{\mathbb{N}}b) \cdot_{\mathbb{N}} c)\\ & = & \sigma(a\cdot_{\mathbb{N}} (b \cdot_{\mathbb{N}} c)) = \sigma(a)(b\cdot_{\mathbb{N}} c)\\ & = & k(\sigma(b)\sigma(c)) = k(mn) \end{eqnarray*}$

[/learn_more]

Teorema 2

Pada himpunan $\mathbb{Z}$ berlaku sifat.

Untuk setiap $k \in \mathbb{Z}$ terdapat dengan $m \in \mathbb{Z}$ , $k + m = 0 = m + k$
Komutatif : untuk setiap $k, m \in \mathbb{Z}$ , $k + m = m + k$ dan $km = mk$ .
Distributif : untuk setiap $k, m, n \in \mathbb{Z}$
$k(m + n) = km + kn~~{\rm dan}~~(k + m)n = kn + mn$
Untuk setiap $k \in \mathbb{Z}$ , $k1 = k = 1k$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Misalkan $k \in \mathbb{Z}$ . Jika $k = 0$ dipilih $m = 0$ . Jika $k \in \mathbb{N}$ , diambil $m = \sigma(k)$ . Untuk $k = \sigma(u)$ untuk suatu $u \in \mathbb{N}$ diambil $m = u$ sehingga berlaku $k + m = 0 = m + k$ .
Langsung dari Aksioma 1 dan 2.
Karena komutatif berlaku, sifat distributif cukup dibuktikan satu sisi. Diambil sebarang $k, m, n \in \mathbb{Z}$ . Hanya akan dibuktikan untuk kasus $k = \sigma(u)$ , $m = \sigma(v)$ , dengan $u, v, n \in \mathbb{N}$ . Kasus yang lain ditinggal untuk latihan.
$\begin{eqnarray*} k(m + n) & = & \sigma(u)(\sigma(v) + n)\\ & = & \sigma(u)0 = 0 = uv + \sigma(uv) = km + mn~~{\rm jika}~v = n \\ & & \\ & = & \sigma(u)\sigma(v -_{\mathbb{N}} n) = u\cdot_{\mathbb{N}}(v -_{\mathbb{N}} n)~~~~~~~~~~~~{\rm jika}~v > n\\ & = & u\cdot_{\mathbb{N}}v -_{\mathbb{N}} u\cdot_{\mathbb{N}}n = u\cdot_{\mathbb{N}}v + \sigma(u\cdot_{\mathbb{N}}n)\\ & = & \sigma(u)\sigma(v) + \sigma(u)n = km + kn\\ & & \\ & = & \sigma(u)(n -_{\mathbb{N}} v) = \sigma(u\cdot_{\mathbb{N}}(n -_{\mathbb{N}} v)~~~~~~~~~~~~{\rm jika}~v < n\\ & = & \sigma(u\cdot_{\mathbb{N}}n -_{\mathbb{N}} u\cdot_{\mathbb{N}}v) = u\cdot_{\mathbb{N}}n) + \sigma(u\cdot_{\mathbb{N}}n)\\ & = & \sigma(u)\sigma(v) + \sigma(u)n = km + kn \end{eqnarray*}$
Jika $k = 0$ atau $k \in \mathbb{N}$ , sifat jelas berlaku. Jika $k = \sigma(u)$ untuk suatu $u \in \mathbb{N}$ berlaku
$1k = 1\sigma(u) = \sigma(1\cdot_{\mathbb{N}}u) = \sigma(u) = k.$ $\blacksquare$ .

[/learn_more]

Teorema 3

Untuk setiap $k, m, n \in \mathbb{Z}$ :

Jika $k + n = m + n$ , maka $k = m$
Jika $kn = mn$ dan $n \neq 0$ , maka $k = m$
Jika $km = 0$ , maka $k = 0$ atau $m = 0$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Diambil sebarang $k, m \in \mathbb{Z}$

Jika $n = 0$ , jelas $k = m$ . Jika $n \in \mathbb{N}$ , maka
$k = k + (n + \sigma(n)) = (k + n) + \sigma(n) = (m + n) + \sigma(n) = m + (n + \sigma(n)) = m$

Untuk $n = \sigma(u)$ untuk suatu $u \in \mathbb{N}$ , maka

$k = k + (\sigma(u) + u) = (k + n) + u = (m + n) + u = m + (\sigma(u) + u) = m$
Untuk $k, n \in\mathbb{N}$ berlaku $m \in \mathbb{N}$ . Akibatnya sesuai sifat-sifat $\mathbb{N}$ , $k = m$ . Untuk $n \in N$ dan $k = \sigma(u)$ untuk suatu $u \in N$ . Jelas $m = \sigma(v)$ untuk suatu $v \in\mathbb{N}$ , sehingga
$\sigma(u\cdot_{\mathbb{N}}n) = \sigma(u)n = \sigma(v)n = \sigma(v\cdot_{\mathbb{N}}n)$

Dapat disimpulkan $un = vn$ , sehingga $u = v$ dan $k = \sigma(u) = \sigma(v) = m$ .
Untuk $k = \sigma(u)$ , $n = \sigma(v)$ untuk suatu $u, v \in \mathbb{N}$ . Akibatnya $m = \sigma(x)$ untuk suatu $x \in \mathbb{N}$ .

$\sigma(u\cdot{\mathbb{N}}v) = \sigma(u)\sigma(v) = \sigma(x)\sigma(v) = \sigma(x\cdot_{\mathbb{N}}v)$

sehingga $uv = xv$ . sesuai sifat bilangan asli $u = x$ .
Diketahui $km = 0$ . Andaikan $k \neq 0$ dan $m \neq 0$ . Sesuai sifat 2 $km \neq 0$ . Kontradiksi. $\blacksquare$

[/learn_more]

Akibat langsung dari Teorema 3 eksistensi $m$ pada Teorema 1 tunggal, yaitu untuk setiap $k \in \mathbb{Z}$ terdapat dengan tunggal $m \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi $k + m = 0 = m + k$ . Elemen $m$ didefinisikan sebagai invers $k$ terhadap penjumlahan yang ditulis $m = -k$ . Selanjutnya dapat didefinisikan operasi pengurangan $"-" : \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ dengan

$k - m \doteq k + (-m)$

untuk setiap $k, m \in \mathbb{Z}$ .

Teorema 4

Untuk setiap $k \in \mathbb{Z}$ :

Jika $k = 0$ , maka $-k = 0$
Jika $k \in \N$ , maka $-k = \sigma(k)$ .
Jika $k = \sigma(u)$ untuk suatu $u \in \N$ , maka $-k = u$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Diketahui $k \in \mathbb{Z}$ .

Karena $0 + 0 = 0$ , maka $-0 = 0$
Jika $k \in \mathbb{N}$ , $k + \sigma(k) = 0$ , sehingga $-k = \sigma(k)$ .
Karena $k + u = \sigma(u) + u = 0$ , maka $-k = u$ $\blacksquare$ .

[/learn_more]

Dari teorema tersebut untuk sebarang $n \in \mathbb{N}$ dapat diberikan notasi baru yaitu $-n = \sigma(n)$ sehingga

$\N^{-} = \sigma(\mathbb{N}) = \{ \sigma(n)~|~n \in \mathbb{N} \} = \{ -n~|~n \in \mathbb{N} \}$

sedangkan $-(-n) = -\sigma(n) = n$ untuk sebarang $n \in \mathbb{N}$ . Akibatnya jika $n \in \sigma(\mathbb{N})$ memenuhi

$-n + n = n +(-n) = 0 = -n + (-(-n)),$

sehingga $n = -(-n)$ .

Teorema 5

Diketahui $k$ , $m$ , dan $n$ elemen-elemen $\mathbb{Z}$ .

$k - (-m) = k + m$
$(-k)m = -(km) = k(-m)$
$k(m - n) = km - kn$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Diketahui $k, m, n \in \mathbb{Z}$ :

$k - (-m) = k + (-(-m)) = k + m$
Dipenuhi $km + (-(km)) = 0 = 0m = (k + (-k))m = km + (-k)m$ . Sesuai Teorema 3 disimpulkan $-(km) = (-k)m$ . Secara analog dapat dibuktikan $-(km) = k(-m)$ .
$k(m - n) = k(m + (-n)) = km + k(-n) = km + (-(kn)) = km - kn$ . $\blacksquare$ .

[/learn_more]

Selanjutnya berdasarkan Definisi 1 di atas dapat dipastikan bahwa $(\mathbb{Z}, +_{\mathbb{Z}}, \cdot_{\mathbb{Z}})$ merupakan perluasan dari sistem bilangan asli $(\mathbb{N}, +_{\mathbb{N}}, \cdot_{\mathbb{N}})$ .

Published by surodjo_b on November 19, 2020November 19, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Relasi Urutan Dan Operasi Pengurangan Pada Sistem Bilangan Asli

Sistem Bilangan Bulat

Published by surodjo_b on November 19, 2020November 19, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Related Posts

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Relasi Urutan Dan Operasi Pengurangan Pada Sistem Bilangan Asli