Sistem Bilangan Asli

Sistem bilangan asli sudah dikenalkan ke masyarakat umum sejak pendidikan di tingkat sekolah dasar (SD). Pada pendidikan di tingkat SD ini, siswa sudah dikenalkan bilangan 1, 2 ,3 dan seterusnya. Namun demikian, siswa belum diajarkan bagaimana proses pembentukan bilangan-bilangan tersebut. Pada artikel ini akan dijelaskan bagaimana proses pembentukan sistem bilangan asli.

Mempelajari sistem bilangan asli merupakan salah satu tahapan yang perlu dilakukan sebelum mempelajari sistem bilangan bulat.

Definisi 1

[box]

Diketahui $\mathbb{N}$ himpunan yang memuat $1$ dan dilengkapi operasi biner “+” pada $\mathbb{N}$ . Jika $(\mathbb{N}, +)$ memenuhi:

$(\forall n \in \mathbb{N})n + 1 \neq 1$
$(\forall n, m \in \mathbb{N})(m + 1 = n + 1 \Rightarrow m = n)$
$(\forall n, m \in \mathbb{N})(m + n) + 1 = m + (n + 1)$
Untuk setiap $G \subseteq \mathbb{N}$ , jika4.1 $1\in G$ dan4.2 $n\in G\Rightarrow n+1\in G$ ,
maka $G=\mathbb{N}$ ,

maka $\mathbb{N}$ disebut sistem bilangan asli (himpunan bilangan asli). Selanjutnya untuk setiap $n\in \mathbb{N}$ disebut bilangan asli.

[/box]

Dari sistem aksioma di atas dapat dikonstruksi:

$1 + 1 := 2,~(1 + 1) + 1 := 3,~((1 + 1) + 1) + 1 := 4,~\ldots, \underbrace{(\cdots ((1 + 1) + 1) \cdots + 1) + 1}_{n}; \ldots.$

Teorema 1

$3 \neq 2$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Dari definisi 1

$\begin{eqnarray*} 3 & = & (1 + 1) + 1\\ 1 + (1 + 1) & = & (1 + 1) + 1~~~{\rm Aksioma 3}\\ 1 + 2 & = & 3~~~~~~~{\rm Definisi "2" dan "3"} \end{eqnarray*}$

[/learn_more]

Sebagai latihan, pembaca dapat membuktikan pernyataan-pernyataan berikut ini.

$4 \neq 2$
$2 \neq 5$
$3 + 1 = 4$
$2 + 1 = 1 + 2$

Berdasarkan aksiomatika dapat diturunkan teorema berikut ini.

Teorema 2

Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ berlaku $n + 1 \neq n$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Dibentuk $G = \{ n | n \in \mathbb{N}, n + 1 \neq n \}$ . jelas $G \subseteq \mathbb{N}$ . Berdasar A (Aksioma) 1, $1 + 1 \neq 1$ , sehingga $1 \in G$ .
Misalkan $n \in G$ , yaitu $n + 1 \neq n$ . Namun berdasarkan A2, $(n + 1) + 1 \neq n + 1$ , sehingga $n + 1 \in G$ ; dan sesuai A4, $G = \mathbb{N}$ . Akibatnya untuk
semua $n \in \mathbb{N}$ berlaku $n \in G$ . Jadi $n + 1 \neq n$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Teorema 3

Untuk setiap $n, m \in N$ berlaku $m + n \neq n$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Diambil sebarang $m \in \mathbb{N}$ . Dibentuk $G = \{ n \in \mathbb{N}, n + m \neq n \}$ . Berdasarkan Teorema 2 $1 \in G$ . Dimisalkan $n \in G$ . Hal ini berarti $m + n \neq n$ . Andai $m + (n + 1) = n + 1$ akan berakibat $(m + n) + 1 = n + 1$ , sehingga menurut A2 $m + n = n$ . Kontradiksi dengan hipotesa induksi. Jadi $n + 1 \in G$ dan menurut A4 berakibat sifat terbukti. $\blacksquare$

[/learn_more]

Sifat berikutnya yang dapat diturunkan berdasarkan sistem aksiomatika himpunan $\N$ beserta operasi “ $+$ ” adalah sifat asosiatif.

Teorema 4

Untuk setiap $k, m, n \in \N$ memenuhi $(k + m) + n = k + (m + n)$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Diambil sebarang $, m \in \mathbb{N}$ . Pembuktian dengan induksi matematika dikenakan pada $n$ dengan membentuk

$G = \{ n | n \in \mathbb{N}, (k + m) + n = k + (m + n) \}$

Berdasarkan A3, diperoleh $n = 1 \in G$ . Dimisalkan benar untuk $n \in G$ , yaitu $k + (m + n) = (k + m) + n$ .

$\begin{eqnarray*} k + (m + (n + 1)) & = & k + ((m + n) + 1)\\ k + ((m + n) + 1) & = & (k + (m + n)) + 1\\ (k + (m + n)) + 1 & = & ((k + m) + n) + 1\\ k + (m + (n + 1)) & = & ((k + m) + n) + 1\\ ((k + m) + n) + 1 & = & (k + m) + (n + 1)\\ k + (m + (n + 1)) & = & (k + m) + (n + 1) \end{eqnarray*}$

Akibatnya $n + 1 \in G$ . Sesuai A4, $G = \mathbb{N}$ , sehingga untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , $(k + m) + n = k + (m + n)$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Berdasarkan Teorema 4, hasil jumlahan $1$ sebanyak $n$ suku

$\underbrace{(\cdots ((1 + 1) + 1) \cdots + 1) + 1}_{n}$

cukup ditulis $\underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{n}$ .

Teorema 5

Diketahui $a = \underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{m}$ jumlahan bilangan 1 sebanyak $m$ suku dan $b = \underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{n}$ . jumlahan bilangan $1$ sebanyak $n$ suku. Jika banyaknya $1$ penyusun $a$ lebih sedikit daripada di $b$ , maka $a < b$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Karena $\underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{n} = \underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{m} + \underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{k}$ untuk suatu $k$ , dengan $\underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{k} \in \N$ . Akibatnya $a = \underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{m} < \underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{n} = b$ . $\blacksquare$

Untuk selanjutnya $\underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{n} \in \mathbb{N}$ ditulis $n$ . Misalkan

$G = \{ 1, 1 + 1, 1 + 1 + 1, 1 + 1 + 1 + 1, \ldots \}.$

Jelas $1 \in G \subseteq \mathbb{N}$ dan jika $\underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{n} \in G$ , berlaku

$\underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{n} + 1 = \underbrace{1 + 1 \cdots + 1}_{n + 1} \in G.$

Sesuai Aksioma 4 berlaku $G = \mathbb{N}$ . $\blacksquare$ .

[/learn_more]

Sifat berikutnya yang berlaku terhadap operasi “ $+$ ” adalah komutatif. Untuk itu diperlukan lemma berikut ini sebagai landasan.

Lemma 1

Untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ , $n + 1 = 1 + n$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Dibentuk $G = \{ n | n \in \mathbb{N}, n + 1 = n + 1 \}$ . Jelas $G \subseteq \mathbb{N}$ . Karena $1 + 1 = 1 + 1$ , maka $1 \in G$ . Selanjutnya dimisalkan $n \in G$ , yang berarti $n + 1 = 1 + n$ . Akibatnya $(n + 1) + 1 = (1 + n) + 1$ , sehingga $n + 1 \in G$ ; dan berdasarkan A4, $G = \mathbb{N}$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Teorema 6

Untuk setiap $n, m \in \N$ berlaku $n + m = m + n$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Diambil sebarang $n \in \mathbb{N}$ . Dibentuk $G = \{ m | m \in \mathbb{N}, n + m = m + n \}$ . Jelas $G \subseteq \mathbb{N}$ . Selain itu menurut Lemma 1,
$1 \in G$ . Selanjutnya dimisalkan $m \in G$ . Berarti $n + m = m + n$ .

$\begin{eqnarray*} (n + m) + 1 & = & (m + n) + 1\\ n + (m + 1) & = & m + (n + 1)\\ & = & m + (1 + n)\\ & = & (m + 1) + n \end{eqnarray*}$

Akibatnya $m + 1 \in G$ , sehingga menurut A4, $G = \mathbb{N}$ . Dengan kata lain untuk setiap $m \in \mathbb{N}$ , $n + m = m + n$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Teorema 7 [Sifat Kanselatif]

Dalam sistem bilangan $\mathbb{N}$ berlaku sifat kanselatif kiri dan kanan:

Untuk setiap $k, m, n \in \mathbb{N}$ , $(k + m = n + m) \Rightarrow(k = n)$
Untuk setiap $k, m, n \in \mathbb{N}$ , $(k + m = k + n) \Rightarrow(m = n)$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Hanya dibuktikan untuk 1. Sifat 2 dijadikan latihan. Bukti menggunakan kontraposisinya, yaitu

$k \neq n \Rightarrow k + m \neq n + m$

Diambil sebarang $k$ dan $n \in \mathbb{N}$ , dengan $k \neq n$ . Dibentuk $G = \{ m | m \in \mathbb{N}, k + m \neq n + m \}$ . Karena $k \neq n$ jelas $k + 1 \neq n + 1$
Dimisalkan $m \in G$ , dengan kata lain $k + m \neq n + m$ . Akibatnya

$k + (m + 1) = (k + m) + 1 \neq (n + m) + 1 = n + (m + 1)$

sehingga $m + 1 \in G$ . Sesuai A4, dapat disimpulkan $G = \mathbb{N}$ , sehingga untuk setiap $k, n \in \mathbb{N}$ , jika $k \neq n$ , maka $k + m \neq n + m$ untuk setiap
$m \in \mathbb{N}$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Latihan

Teorema 7, bagian 2.
Untuk setiap $k,l,m,n\in \mathbb{N}$ berlaku $(k + l) + (m + n) = (k + (l + m)) + n$ .

Published by surodjo_b on November 19, 2020November 19, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Sistem Bilangan Bulat

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Sistem Bilangan Asli

Published by surodjo_b on November 19, 2020November 19, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Related Posts

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Sistem Bilangan Bulat

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli