Relasi Urutan Dan Operasi Pengurangan Pada Sistem Bilangan Asli

Seperti yang telah dikenal baik pada materi dasar logika relasi $R$ pada himpunan yang tidak kosong $H$ disebut relasi urutan (parsial) jika refleksif, antisimetris, dan transitif. Relasi $R$ disebut relasi urutan tegas jika irrefleksif, asimetris, dan transitif. Himpunan $H$ yang dilengkapi urutan parsial $R$ disebut himpunan terurut parsial dan setiap elemen $a$ dan $b$ di $H$ yang memenuhi $(a, b)$ anggota $R$ biasa ditulis dengan $a \leq b$ . Jika $(a, b)$ anggota $R$ dengan $R$ relasi urutan tegas ditulis dengan $a < b$ .

Pada sistem bilangan asli $\mathbb{N}$ dapat dikonstruksi relasi urutan dengan menggunakan sifat-sifat operasi “ $+$ “. Untuk itu perlu dikaji terlebih dulu sifat elementer berikut ini.

Teorema 1

Untuk masing-masing $n \in \mathbb{N} - \{ 1 \}$ , dapat ditemukan $m \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $n = m + 1$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Dibentuk $G = \{ 1, n | n \in \mathbb{N}, (\exists m \in \mathbb{N})n = m + 1 \}$ . Jelas $1 \in G \subseteq \mathbb{N}$ . Dimisalkan $n \in G$ , berarti $n = 1$ atau
$n = m + 1$ untuk suatu $m \in \mathbb{N}$ .

Jika $n = 1$ , maka $n + 1 = 1 + 1$ . Akibatnya $n + 1 \in G$ , karena terdapat $m = 1$ sehingga $n + 1 = m + 1$ . Jika $n = m + 1$ untuk suatu $m \in \mathbb{N}$ ,
maka

$n + 1 = (m + 1) + 1$

Jelas $m + 1 \in \mathbb{N}$ , akibatnya $n + 1 \in G$ . Sesuai A4 (Definisi Sistem Bilangan Asli), maka $G = \mathbb{N}$ . $\blacksquare$ .

[/learn_more]

Teorema 2

Untuk setiap $m, n \in \mathbb{N}$ , berlaku tepat satu pernyataan:

$m = n$
$(\exists u \in \mathbb{N})m + u = n$
$(\exists u \in \mathbb{N})n + v = m$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Hanya akan dibuktikan untuk eksistensi ketiga pernyataan. Ketunggalan pernyataan yang berlaku dijadikan latihan. Diambil sebarang $m \in \mathbb{N}$ . Dibentuk

$G = \{ n \in \N~|~m = n~{\rm atau}~ (\exists u \in \mathbb{N})m + u = n ~{\rm atau}~ (\exists u \in \mathbb{N})n + v = m \}$

Jika $1 = m$ , jelas $1 \in G$ . Jika $1 \neq m$ , menurut Teorema 1 dapat ditemukan $v$ yang memenuhi $m = v + 1 = 1 + v$ . Akibatnya $1 \in G$ . Selanjutnya misalkan $n \in G$ . Jika $m = n$ , maka $n + 1 = m + 1$ . Terdapat $u = 1$ yang memenuhi $m + u = n + 1$ . Jadi $n + 1 \in G$ .

Jika dapat ditemukan $u \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $m + u = n$ , maka

$n + 1 = (m + u) + 1 = m + (u + 1)$

dengan $u + 1 \in \N$ . Jadi $n + 1 \in \mathbb{N}$ . Hal ini juga berlaku jika terdapat $v \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $n + v = m$ . Untuk $v = 1$ berakibat $n + 1 = m$ yang memenuhi pernyataan pertama. Jadi $n + 1 \in G$ . Jika $v \neq 1$ menurut Teorema 1 terdapat $x \in \N$ yang memenuhi $v = x + 1$ . Akibatnya

$m = n + v = n + (x + 1) = n + (1 + x) = (n + 1) + x$

sehingga $n + 1 \in G$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Berdasarkan Teorema 2 dapat diturunkan relasi pada $\mathbb{N}$ .

Definisi 1

Untuk setiap $m, n \in \mathbb{N}$ didefinisikan

$m < n \Leftrightarrow (\exists u \in \mathbb{N})m + u = n$

Selanjutnya didefinisikan $n > m$ jika dan hanya jika $m < n$ . Relasi $m \leq n$ menyatakan $m < n$ atau $m = n$ yang merupakan relasi urutan parsial lemah.

Contoh 1

$2 < 2 + 1 = 3,~~4 < 4 + 3 = 7,~~~ 1 < 1 + n$

Dari Definisi 1 dapat dinyatakan sifat berikut ini:

Teorema 3

Untuk setiap $x, y \in \mathbb{N}$ berlaku tepat hanya satu

$x = y~~{\rm atau}~~x < y~~{\rm atau}~~x > y.$

Relasi “<” pada Definisi 1 merupakan relasi urutan tegas, seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut ini.

Teorema 4

Untuk setiap $k, m, n \in \mathbb{N}$ berlaku

$n \not< n$
Jika $m < n$ , maka $n \not< m$
Jika $m < n$ dan $n < k$ , maka $m < k$
$n = 1$ atau $1 < n$
$n < n + m$
Jika $m < n$ , maka $m < n + k$
Jika $m + n < k$ , maka $m < k$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Hanya dibuktikan untuk pernyataan 3. Diketahui $m < n$ dan $n < k$ . Maka dapat ditemukan $u, v \in \mathbb{N}$ , sehingga

$n = m + u~~{\rm dan}~~k = n + v$

sehingga $k = n + v = (m + u) + v = m + (u + v)$ , dengan $u + v \in \mathbb{N}$ . Akibatnya $m < k$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Teorema 5

Untuk setiap $k, m, n \in \mathbb{N}$ berlaku

Jika $k < m$ , maka $k + n < m + n$
Jika $k < m$ , maka $n + k < n + m$
Jika $k + n < m + n$ , maka $k < m$
Jika $k + m < k + n$ , maka $m < n$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Hanya akan dibuktikan untuk 1 dan 3.

1. Karena $k < m$ , maka dapat ditemukan $u \in \mathbb{N}$ sehingga $k + u = m$ . Akibatnya

$(k + n) + u = k + (n + u) = k + (u + n) = (k + u) + n = m + n$

Dengan kata lain $k + n < m + n$ .

3. Terdapat $u \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $m + n = (k + n) + u$ . Akibatnya $m + n = k + (n + v) = (k + u) + n$ . Menurut kanselasi penjumlahan berlaku $m = k + u$ , sehingga $k < m$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Selanjutnya, dengan memanfaatkan relasi “ $<$ ” dapat didefinisikan operasi pengurangan antara dua bilangan asli yang berbeda. Meskipun operasi ini tidak berlaku untuk semua pasangan bilangan asli, namun fenomena yang muncul dari operasi tersebut sangat berperan dalam sistem yang lebih luas.

Definisi 2

Untuk setiap $m < n$ di $\mathbb{N}$ terdapat dengan tunggal $u \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $m + u = n$ . Elemen tunggal yang memenuhi kondisi tersebut ditulis dengan $u = n - m$ .

Pada definisi ini terlihat jelas pengurangan $m$ oleh $n$ dimungkinkan karena adanya syarat cukup $n < m$ ; dan bukan karena operasi pengurangan untuk sebarang dua bilangan di $\mathbb{N}$ .

Contoh 2

Karena $4 < 6$ , dan $4 + 2 = 6$ , maka sesuai definisi $2 = 6 - 4$ . Sebaliknya karena $6 \not< 4$ , maka tidak dapat didefinisikan $4 - 6$ di $\mathbb{N}$ .

Teorema 6

Untuk setiap $m, n \in \mathbb{N}$ ,

Jika $m < n$ , maka $n = m + (m - n)$
Jika $k + n = m$ , maka $n = m - k$
Jika $m < k$ dan $n = k - m$ , maka $m + n = k$
Jika $m < k$ , maka untuk setiap $n < m$ berlaku $m - n < k$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Hanya untuk 2 dan 4. Untuk 1 dan 3 digunakan untuk latihan.

2 .Karena $k + n = m$ , berarti $n < m$ . Menggunakan sifat 1, diperoleh $m = k + (m -k)$ . Namun karena bilangan $u \in \N$ yang memenuhi $k + u = m$ tunggal, maka $u = n = m - k$ .
4. Terdapat $u, v \in \N$ yang memenuhi $k = m + u$ dan $m = n + v$ . Akibatnya $v = m - n$ dan $k = (n + v) + u = (n + u) + v$ . Karena $n + u \in \N$ , berakibat $m - n = v < k$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Hubungan antara operasi $"+"$ terhadap pengurangan di antara elemen-elemen $\N$ mengungkapkan sifat-sifat sistem bilangan asli. Pada teorema berikut ini dipaparkan sebagian di antaranya.

Teorema 7

Untuk sebarang $k, m, n \in N$ berlaku:

Jika $k < m$ , maka $n + (m - k) = (n + m) - k$
Jika $k + m < n$ , maka $n - (m + k) = (n - m) - k$
Jika $k < m$ dan $m < n$ , maka $n - (m - k) = (n - m) + k$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Karena $k < m$ terdapat $u \in \N$ sehingga $m = k + u$ . Jadi $u = m - k$ dan $(n + m) - k$ terdefinisi.
$n + m = n + (u + k) = (n + u) + k = (n + (m - k)) + k$

sehingga $(n + m) - k = n + (m - k)$ ..
Karena $k + m < n$ , dapat ditemukan $u \in \N$ sehingga
$n = (m + k) + u = m + (k + u)$ . Berarti $u = n - (m + k)$ . Sesuai definisi $n - m = k + u$ dan $u = (n - m) - k$ .
Terbukti $n - (m + k) = (n - m) - k$
Diperoleh
$n = (n - m) + m = (n - m) + ((m - k) + k) = (m - k) + ((n - m) + k)$ . Akibatnya $n - (m - k) = (n - m) + k$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Selanjutnya salah satu sifat yang berlaku pada sistem bilangan asli dinyatakan dalam teorema berikut ini.

Teorema 8

Pada $\mathbb{N}$ tidak mungkin ditemukan barisan tak hingga

$n_{1} > n_{2} > \cdots.$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Andaikan $\{ n_{i} \}_{i \geq}$ barisan bilangan-bilangan asli yang memenuhi $n_{i} > n_{i + 1}$ untuk setiap $i$ . Akibatnya terdapat $v_{i} \in \mathbb{N}$ yang memenuhi

$1 \leq v_{i}~~{\rm dan}~~n_{i} = n_{i + 1} + v_{i} \geq n_{i + 1} + 1$

Namun kemungkinan paling banyak (bisa lebih sedikit) hanya ada barisan

$n_{1} > n_{2} > \cdots > n_{n_{1}} = 1$

Kontradiksi. $\blacksquare$

[/learn_more]

Teorema 9

Di antara dua bilangan asli yang berbeda hanya terdapat sebanyak hingga bilangan asli yang terletak di antara keduanya.

$(\forall m, n \in \mathbb{N})(m < n \Rightarrow |\{ k \in \mathbb{N}~|~m < k < n \} | < +\infty)$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Misalkan $H = \{ k \in \mathbb{N}~|~m < k < n \}$ . Karena $m < n$ , dapat ditemukan $v = n - m \in \mathbb{N}$ sehingga $n = m + v$ . Jika $v = 1$ , $H = \emptyset$ . Jika $v = 1 + 1$ , $H = \{ m + 1 \}$ . Jika $v > 1 + 1$ , diperoleh

$H = \{ m + 1, m + 1 + 1, \ldots, m + \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{v - 1} \}$

sehingga $H$ hingga. $\blacksquare$

[/learn_more]

Akibat dari Teorema 8 dan 9 diperoleh sifat berikut ini.

Sifat 1

Untuk sebarang $H \subseteq \mathbb{N}$ yang tidak kosong, selalu ditemukan bilangan terkecil, yaitu bilangan $m \in H$ yang memenuhi $m \leq n$ untuk setiap $n \in \mathbb{N}$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Diambil sebarang $h \in H$ . Akibatnya untuk sebarang $n \in H$ berlaku $h = n$ atau $h < n$ atau $n < h$ . Jika $h \leq n$ untuk setiap $n \in H$ berarti $h$ merupakan bilangan terkecil sebagai $m$ yang dicari. Jika tidak berarti dapat ditemukan $k \in H$ yang memenuhi $k < h$ . Dibentuk

$H_{1} = \{ n \in H~|~n < h \}~~{\rm dan}~~ H_{0} = \{ n \in \N~|~n < h \}$

Jelas bahwa $k \in H_{1} \subseteq H_{0}$ . Menurut Teorema 9 $H_{0}$ hingga, sehingga $H_{1}$ hingga. Jadi dapat ditemukan $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{p} \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $H_{1} = \{ n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{p} \}$ . Kondisi ini berakibat $H_{1}$ dapat diurutkan dan tanpa mengurangi keumuman

$h > n_{1} > n_{2} > \cdots > n_{p}$

sehingga $n_{p}$ merupakan bilangan yang terkecil di $H$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Relasi Urutan Dan Operasi Pengurangan Pada Sistem Bilangan Asli

Published by surodjo_b on November 19, 2020November 19, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Sistem Bilangan Bulat

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Relasi Urutan Dan Operasi Pengurangan Pada Sistem Bilangan Asli

Published by surodjo_b on November 19, 2020November 19, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Related Posts

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Sistem Bilangan Bulat

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli