Seperti yang telah dikenal baik pada materi dasar logika relasi pada himpunan yang tidak kosong
disebut relasi urutan (parsial) jika refleksif, antisimetris, dan transitif. Relasi
disebut relasi urutan tegas jika irrefleksif, asimetris, dan transitif. Himpunan
yang dilengkapi urutan parsial
disebut himpunan terurut parsial dan setiap elemen
dan
di
yang memenuhi
anggota
biasa ditulis dengan
. Jika
anggota
dengan
relasi urutan tegas ditulis dengan
.
Pada sistem bilangan asli dapat dikonstruksi relasi urutan dengan menggunakan sifat-sifat operasi “
“. Untuk itu perlu dikaji terlebih dulu sifat elementer berikut ini.
Teorema 1
Untuk masing-masing , dapat ditemukan
yang memenuhi
.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Dibentuk . Jelas
. Dimisalkan
, berarti
atau
untuk suatu
.
Jika , maka
. Akibatnya
, karena terdapat
sehingga
. Jika
untuk suatu
,
maka
Jelas , akibatnya
. Sesuai A4 (Definisi Sistem Bilangan Asli), maka
.
.
[/learn_more]
Teorema 2
Untuk setiap , berlaku tepat satu pernyataan:
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Hanya akan dibuktikan untuk eksistensi ketiga pernyataan. Ketunggalan pernyataan yang berlaku dijadikan latihan. Diambil sebarang . Dibentuk
Jika , jelas
. Jika
, menurut Teorema 1 dapat ditemukan
yang memenuhi
. Akibatnya
. Selanjutnya misalkan
. Jika
, maka
. Terdapat
yang memenuhi
. Jadi
.
Jika dapat ditemukan yang memenuhi
, maka
dengan . Jadi
. Hal ini juga berlaku jika terdapat
yang memenuhi
. Untuk
berakibat
yang memenuhi pernyataan pertama. Jadi
. Jika
menurut Teorema 1 terdapat
yang memenuhi
. Akibatnya
sehingga .
[/learn_more]
Berdasarkan Teorema 2 dapat diturunkan relasi pada .
Definisi 1
Untuk setiap didefinisikan
Selanjutnya didefinisikan jika dan hanya jika
. Relasi
menyatakan
atau
yang merupakan relasi urutan parsial lemah.
Contoh 1
Dari Definisi 1 dapat dinyatakan sifat berikut ini:
Teorema 3
Untuk setiap berlaku tepat hanya satu
Relasi “<” pada Definisi 1 merupakan relasi urutan tegas, seperti yang dinyatakan dalam teorema berikut ini.
Teorema 4
Untuk setiap berlaku
- Jika
, maka
- Jika
dan
, maka
atau
- Jika
, maka
- Jika
, maka
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Hanya dibuktikan untuk pernyataan 3. Diketahui dan
. Maka dapat ditemukan
, sehingga
sehingga , dengan
. Akibatnya
.
[/learn_more]
Teorema 5
Untuk setiap berlaku
- Jika
, maka
- Jika
, maka
- Jika
, maka
- Jika
, maka
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Hanya akan dibuktikan untuk 1 dan 3.
1. Karena , maka dapat ditemukan
sehingga
. Akibatnya
Dengan kata lain .
3. Terdapat yang memenuhi
. Akibatnya
. Menurut kanselasi penjumlahan berlaku
, sehingga
.
[/learn_more]
Selanjutnya, dengan memanfaatkan relasi “” dapat didefinisikan operasi pengurangan antara dua bilangan asli yang berbeda. Meskipun operasi ini tidak berlaku untuk semua pasangan bilangan asli, namun fenomena yang muncul dari operasi tersebut sangat berperan dalam sistem yang lebih luas.
Definisi 2
Untuk setiap di
terdapat dengan tunggal
yang memenuhi
. Elemen tunggal yang memenuhi kondisi tersebut ditulis dengan
.
Pada definisi ini terlihat jelas pengurangan oleh
dimungkinkan karena adanya syarat cukup
; dan bukan karena operasi pengurangan untuk sebarang dua bilangan di
.
Contoh 2
Karena , dan
, maka sesuai definisi
. Sebaliknya karena
, maka tidak dapat didefinisikan
di
.
Teorema 6
Untuk setiap ,
- Jika
, maka
- Jika
, maka
- Jika
dan
, maka
- Jika
, maka untuk setiap
berlaku
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Hanya untuk 2 dan 4. Untuk 1 dan 3 digunakan untuk latihan.
2 .Karena , berarti
. Menggunakan sifat 1, diperoleh
. Namun karena bilangan
yang memenuhi
tunggal, maka
.
4. Terdapat yang memenuhi
dan
. Akibatnya
dan
. Karena
, berakibat
.
[/learn_more]
Hubungan antara operasi terhadap pengurangan di antara elemen-elemen
mengungkapkan sifat-sifat sistem bilangan asli. Pada teorema berikut ini dipaparkan sebagian di antaranya.
Teorema 7
Untuk sebarang berlaku:
- Jika
, maka
- Jika
, maka
- Jika
dan
, maka
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
- Karena
terdapat
sehingga
. Jadi
dan
terdefinisi.
sehingga
..
- Karena
, dapat ditemukan
sehingga
. Berarti
. Sesuai definisi
dan
.
Terbukti - Diperoleh
. Akibatnya
.
[/learn_more]
Selanjutnya salah satu sifat yang berlaku pada sistem bilangan asli dinyatakan dalam teorema berikut ini.
Teorema 8
Pada tidak mungkin ditemukan barisan tak hingga
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Andaikan barisan bilangan-bilangan asli yang memenuhi
untuk setiap
. Akibatnya terdapat
yang memenuhi
Namun kemungkinan paling banyak (bisa lebih sedikit) hanya ada barisan
Kontradiksi.
[/learn_more]
Teorema 9
Di antara dua bilangan asli yang berbeda hanya terdapat sebanyak hingga bilangan asli yang terletak di antara keduanya.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Misalkan . Karena
, dapat ditemukan
sehingga
. Jika
,
. Jika
,
. Jika
, diperoleh
sehingga hingga.
[/learn_more]
Akibat dari Teorema 8 dan 9 diperoleh sifat berikut ini.
Sifat 1
Untuk sebarang yang tidak kosong, selalu ditemukan bilangan terkecil, yaitu bilangan
yang memenuhi
untuk setiap
.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Diambil sebarang . Akibatnya untuk sebarang
berlaku
atau
atau
. Jika
untuk setiap
berarti
merupakan bilangan terkecil sebagai
yang dicari. Jika tidak berarti dapat ditemukan
yang memenuhi
. Dibentuk
Jelas bahwa . Menurut Teorema 9
hingga, sehingga
hingga. Jadi dapat ditemukan
yang memenuhi
. Kondisi ini berakibat
dapat diurutkan dan tanpa mengurangi keumuman
sehingga merupakan bilangan yang terkecil di
.
[/learn_more]
0 Comments