Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Berdasarkan operasi penjumlahan pada $\mathbb{N}$ selanjutnya dikonstruksi operasi perkalian dua bilangan asli. Operasi ini muncul dari penjumlahan secara berulang bilangan asli yang memunculkan pemetaan biner pada $\mathbb{N}$ sperti dalam teorema berikut ini.

Teorema 1

Pada himpunan bilangan asli $\mathbb{N}$ terdapat dengan tunggal pemetaan $\alpha: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ yang memenuhi

$\alpha(1, n) = n,~~\alpha(m + 1, n) = f(m, n) + n$

untuk setiap $m, n \in \mathbb{N}$ . Untuk selanjutnya ditulis $\alpha(m, n) = mn$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Terhadap pengaitan $\alpha: \mathbb{N} \times \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ dengan

$\alpha(1, n) = n,~~\alpha(m + 1, n) = f(m, n) + n$

untuk $m = 2 = 1 + 1$ , $\alpha(2, n) = \alpha(1, n) + n = n + n$ . Misalkan untuk sebarang $m \in \mathbb{N} - \{ 1 \}$ berlaku $\alpha(m, n) \in \mathbb{N}$ . Akibatnya

$\begin{eqnarray*} \alpha(m + 1, n) & = & \alpha(m, n) + n = (\alpha(m - 1, n) + n) + n \\ & = & \alpha(m - 1, n) + (n + n) = \cdots\\ & = & \alpha(1, n) + \underbrace{(n + \cdots + n)}_{m} = \underbrace{(n + \cdots + n)}_{m + 1} \end{eqnarray*}$

Untuk sebarang $m, n, k, l \in \mathbb{N}$ jika $n = k$ , $\alpha(1, n) = n = k = \alpha(1, k)$ . Jika diketahui juga $m = l$ dan diasumsikan $\alpha(m, n) = \alpha(k, l)$ maka

$\alpha(m + 1, n) = \alpha(m, n) + n = \alpha(m, n) + k = \alpha(l, k) + k = \alpha(l + 1, k)$

sehingga terbukti $\alpha$ pemetaan. Bukti ketunggalan dijadikan latihan. $\blacksquare$

[/learn_more]

Contoh 1

Sebagai contoh diambil $4\cdot5 = \alpha(3 + 1, 5) = \alpha(3, 5) + 5 = \alpha(2, 5) + 5 + 5 = 5 + 5 + 5 +5$ . Secara umum

$m\cdot n = n + n + \cdots + n$

sebanyak $m$ suku.

Teorema 2

Untuk setiap $m, n \in \mathbb{N}$ berlaku

$1\cdot n = n~~{\rm dan}~~(m + 1)n = mn + n.$

Teorema 3

Untuk setiap $k, m, n \in mathbb{N}$ berlaku:

Distributif: $k(m + n) = km + kn$ dan $(m + k)n = mn + kn$
Assosiatif: $(km)n = k(mn)$
Komutatif: $km = mk$
Kanselatif: Jika $km = kn$ , maka $m = n$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Diambil sebarang $m, n \in \mathbb{N}$ . Dibentuk
$G = \{ k \in \mathbb{N}~|~k(m + n) = km + kn \}$

Jelas $1 \in G$ . Diasumsikan $k \in G$ . Berarti $k(m + n) = km + kn$ sehingga

$\begin{eqnarray*} (k + 1)(m + n) & = & k(m + n) + (m + n) = (km + kn) + (m + n)\\ & = & (km + m) + (kn + n) = (k + 1)m + (k + 1)n \end{eqnarray*}$

Akibatnya $k + 1 \in G$ , sehingga $G = \mathbb{N}$ .Dibentuk $H = \{ k \in \mathbb{N}~|~(m + k)n = mn + kn \}$ . Karena $(m + 1)n = mn + n = mn + 1n$ , berarti $1 \in G$ . Diasunsikan $k \in G$ . Akibatnya $(m + k)n = mn + kn$ , sehingga

$\begin{eqnarray*} (m + (k + 1))n & = & ((m + k) + 1)n = (m + k)n + n \\ & = & (mn + kn) + 1n = mn + (kn + 1n) = mn + (k + 1)n \end{eqnarray*}$

Jadi $k + 1 \in G$ . Dengan kata lain $G = \mathbb{N}$ .
Diambil sebarang $m, n \in \mathbb{N}$ sebarang. Dibentuk
$G = \{ k \in \mathbb{N}~|~(km)n = k(mn) \}$

Untuk $k = 1$ berlaku $(km)n = (1m)n = mn = 1(mn) = k(mn)$ . Akibatnya $1 \in G$ . Dimisalkan $k \in G$ . Karena distributif kanan berlaku

$((k + 1)m)n = (km + 1m)n = (km)n + (1m)n = k(mn) + mn = (k + 1)(mn)$

Berarti $k + 1 \in G$ , sehingga $G = \mathbb{N}$ .
Untuk sebarang $n \in \mathbb{N}$ berlaku $n1 = n = 1n$ , sebab: Untuk $n = 1$
$n1 = 1\cdot 1 = 1 = n = 1n$

Misalkan $n1 = n = 1n$ . Akibatnya $(n + 1)1 = n1 + 1 = n + 1 = 1(n + 1)$ .
Selanjutnya dimisalkan $mn = nm$ untuk sebarang $m \in \mathbb{N}$ . Akibatnya dengan menggunakan sifat distributif kiri

$(m + 1)n = mn + n = nm + n1 = n(m + 1)$

sehingga $m + 1 \in G$ . Jadi komutatif berlaku.
Diketahui $km = kn$ . Diandaikan $m \neq n$ . Akibatnya terdapat $u \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $m = n + u$ atau $n = m + u$ , sehingga
$kn = k(n + u) = kn + ku~~{\rm atau}~~km = k(m + u) = km + ku$

keduanya tidak mubgkin terjadi, karena $ku \in \mathbb{N}$ . Jadi $n = m$ . $\blacksquare$

[/learn_more]

Teorema 4

Jika $u$ dan $v$ bilangan asli, $uv = 1$ jika dan hanya jika $u = 1 = v$ .

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Jika $u = 1 = v$ , $uv = 1$ . Sebaliknya misalkan $uv = 1$ . Andaikan $u \neq 1$ atau $v = 1$ . Akibatnya $uv = u \neq 1$ . Kontradiksi. Begitu juga jika $v \neq 1$ dan $u = 1$ . Sedangkan jika $u \neq 1 \neq v$ , maka terdapat $m, n \in \mathbb{N}$ sehingga $u = m + 1$ dan $v = n + 1$ . Dapat disimpulkan $uv = (m + 1)(n + 1) = (mn + m + n) + 1 \neq 1$ . Kontradiksi. $\blacksquare$ .

[/learn_more]

Berdasarkan sifat komutatif operasi perkalian pada $\mathbb{N}$ , semua sifat yang berlaku untuk perkalian dengan elemen dari sisi sebelah kiri juga berlaku untuk perkalian dengan elemen di sebelah kanan.

Teorema 5

Diketahui $k, m, n, l \in \mathbb{N}$ .

Jika $m < n$ , maka $km < kn$ dan $k(m - n) = km - kn$
Jika $m < n$ dan $k < l$ , maka $mk < nl$
Jika $m < n$ , maka $m < kn$

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Karena $m < n$ maka dapat ditemukan $u \in \mathbb{N}$ yang memenuhi $n = m + u$ .

Akibatnya $kn = k(m + u) = km + ku$ . Tentu saja $ku \in \N$ , sehingga $km < kn$ dan $k(n - m) = ku = kn - km$ .
Karena $k < l$ , maka terdapat $v \in \N$ yang memenuhi $l = k + v$ .
$nl = (m + u)(k + v) = mk + (uk + mv + uv)$

Hal ini berakibat $mk < nl$ .
Merupakan akibat dari kasus 1 dan 2. $\blacksquare$

[/learn_more]

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Published by surodjo_b on November 19, 2020November 19, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Sistem Bilangan Bulat

Relasi Urutan Dan Operasi Pengurangan Pada Sistem Bilangan Asli

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Published by surodjo_b on November 19, 2020November 19, 2020

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Related Posts

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Sistem Bilangan Bulat

Relasi Urutan Dan Operasi Pengurangan Pada Sistem Bilangan Asli