Berdasarkan operasi penjumlahan pada selanjutnya dikonstruksi operasi perkalian dua bilangan asli. Operasi ini muncul dari penjumlahan secara berulang bilangan asli yang memunculkan pemetaan biner pada
sperti dalam teorema berikut ini.
Teorema 1
Pada himpunan bilangan asli terdapat dengan tunggal pemetaan
yang memenuhi
untuk setiap . Untuk selanjutnya ditulis
.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Terhadap pengaitan dengan
untuk ,
. Misalkan untuk sebarang
berlaku
. Akibatnya
Untuk sebarang jika
,
. Jika diketahui juga
dan diasumsikan
maka
sehingga terbukti pemetaan. Bukti ketunggalan dijadikan latihan.
[/learn_more]
Contoh 1
Sebagai contoh diambil . Secara umum
sebanyak suku.
Teorema 2
Untuk setiap berlaku
Teorema 3
Untuk setiap berlaku:
- Distributif:
dan
- Assosiatif:
- Komutatif:
- Kanselatif: Jika
, maka
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
- Diambil sebarang
. Dibentuk
Jelas
. Diasumsikan
. Berarti
sehingga
Akibatnya
, sehingga
.Dibentuk
. Karena
, berarti
. Diasunsikan
. Akibatnya
, sehingga
Jadi
. Dengan kata lain
.
- Diambil sebarang
sebarang. Dibentuk
Untuk
berlaku
. Akibatnya
. Dimisalkan
. Karena distributif kanan berlaku
Berarti
, sehingga
.
- Untuk sebarang
berlaku
, sebab: Untuk
Misalkan
. Akibatnya
.
Selanjutnya dimisalkanuntuk sebarang
. Akibatnya dengan menggunakan sifat distributif kiri
sehingga
. Jadi komutatif berlaku.
- Diketahui
. Diandaikan
. Akibatnya terdapat
yang memenuhi
atau
, sehingga
keduanya tidak mubgkin terjadi, karena
. Jadi
.
[/learn_more]
Teorema 4
Jika dan
bilangan asli,
jika dan hanya jika
.
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Jika ,
. Sebaliknya misalkan
. Andaikan
atau
. Akibatnya
. Kontradiksi. Begitu juga jika
dan
. Sedangkan jika
, maka terdapat
sehingga
dan
. Dapat disimpulkan
. Kontradiksi.
.
[/learn_more]
Berdasarkan sifat komutatif operasi perkalian pada , semua sifat yang berlaku untuk perkalian dengan elemen dari sisi sebelah kiri juga berlaku untuk perkalian dengan elemen di sebelah kanan.
Teorema 5
Diketahui .
- Jika
, maka
dan
- Jika
dan
, maka
- Jika
, maka
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Karena maka dapat ditemukan
yang memenuhi
.
- Akibatnya
. Tentu saja
, sehingga
dan
.
- Karena
, maka terdapat
yang memenuhi
.
Hal ini berakibat
.
- Merupakan akibat dari kasus 1 dan 2.
[/learn_more]
0 Comments