Persamaan Diophantine Non-Linear

Persamaan Diophantine non-linear adalah suatu persamaan Diophantine yang tidak linear atau dengan kata lain memiliki suku yang berderajat lebih dari 1. Secara umum, tidak ada teknik khusus yang dapat digunakan untuk mencari penyelesaian persamaan Diophantine non-linear. Pada artikel ini, akan dijelaskan beberapa persamaan Diophantine non-linear yang cukup terkenal dan telah diketahui penyelesaiannya, yakni Persamaan Phytagoras, Persamaan Pell,

Persamaan Phytagoras

Persamaan Phytagoras merupakan suatu persamaan Diophantine yang memiliki bentuk

(1) $\begin{eqnarray*} a^2+b^2=c^2. \end{eqnarray*}$

Solusi bulat positif $(a,b,c)$ dari persamaan 1 biasanya dikenal dengan istilah tripel Phytagoras. Dari sudut pandang geometri, setiap tripel Phytagoras $(a,b,c)$ terkait dengan sebuah segitiga siku-siku yang sisi-sisinya $a$ , $b$ , dan $c$ . Beberapa tripel Phytagoras yang umum diketahui adalah $(3,4,5)$ , $(6,8,10)$ , $(5,12,13)$ .

Suatu tripel Phytagoras $(a,b,c)$ dikatakan primitif jika $FPB(a,b,c)=1$ . Setiap tripel Phytagoras merupakan tripel Phytagoras primitif atau kelipatan suatu tripel Phytagoras primitif. Teorema berikut memberikan formula umum dari tripel Phytagoras primitif.

Teorema 1

[box] Tripel bilangan bulat positif $(a,b,c)$ merupakan tripel Phytagoras primitif jika dan hanya jika $(a,b,c)$ memiliki bentuk $(2mn, m^2-n^2, m^2+n^2)$ atau $(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)$ di mana $m$ dan $n$ merupakan bilangan bulat positif yang relatif prima, $m>n$ , dan memiliki paritas berbeda.[/box]

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Misalkan $(a,b,c)$ adalah tripel Phytagoras primitif. Jika $a$ dan $b$ merupakan bilangan ganjil, diperoleh

$c^2 \equiv a^2 + b^2 \equiv 1+1 \equiv 2 \pmod{4},$

yang merupakan sebuah kontradiksi sebab bilangan kuadrat tidak ekuivalen dengan 2 dalam modulo 4. Akibatnya, salah satu dari $a$ atau $b$ merupakan bilangan genap. Misalkan $b$ genap, maka $a$ haruslah ganjil sebab $a$ dan $b$ relatif prima. Akibatnya, $c$ juga bilangan ganjil. Diperoleh $s = (c+a)/2$ dan $d = (c-a)/2$ adalah bilangan bulat positif. Lebih lanjut, $s$ dan $d$ saling relatif prima, sebab setiap faktor persekutuan dari $s$ dan $d$ akan habis membagi $s+d= c$ dan $s-d = a$ . Karena $a = s-d$ and $c= s+d$ , diperoleh

$b = \sqrt{c^2 -a^2} = \sqrt{(s+d)^2 - (s-d)^2} = \sqrt{4sd} = 2\sqrt{sd} .$

Perhatikan bahwa karena $\sqrt{sd} = b/2$ merupakan bilangan bulat dan $s$ dan $d$ saling relatif prima, diperoleh $s$ and $d$ adalah bilangan kuadrat. Artinya, $s= m^2$ and $d = n^2$ untuk suatu bilagan bulat positif $m$ and $n$ . Karena $m^2 + n^2 = s+d = c$ adalah bilangan ganjil, $m^2$ dan $n^2$ memiliki paritas yang berbeda. Akibatnya, $m$ dan $n$ memiliki paritas yang berbeda.

Sebaliknya, perhatikan bahwa

$(m^2-n^2)^2 + (2mn)^2 = m^4 + 2m^2n^2 + n^4 = (m^2+n^2)^2.$

Artinya, $(2mn, m^2-n^2, m^2+n^2)$ atau $(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2)$ merupakan tripel Pythagoras. Lebih lanjut, tripel tersebut primitif sebab sebarang faktor persekutuan dari $m^2 - n^2$ dan $m^2 + n^2$ adalah bilangan ganjil dan merupakan faktor persekutuan dari $(m^2 + n^2) + (m^2-n^2) = 2m^2$ dam $(m^2+n^2) - (m^2 - n^2) = 2n^2$ , sedangkan $FPB(2m^2,2n^2)=2$ .

[/learn_more]

Persamaan Pell

Persamaan Pell merupakan suatu persamaan Diophantine yang memiliki bentuk

(2) $\begin{eqnarray*} x^2-Dy^2=\pm1 \end{eqnarray*}$

dengan $D$ adalah suatu bilangan bulat positif.

Dalam mencari solusi bulat persamaan Pell, cukup diselidiki solusi bulat positif dari persamaan tersebut.

Jika $D$ merupakan bilangan kuadrat, katakan $D=d^2$ , maka solusi bulat persamaan Pell dapat dicari dengan menggunakan teknik pecah kuadrat: $\pm1=(x-dy)(x+dy)$ .
Jika $D$ bukan bilangan kuadrat, terdapat tak hingga banyaknya solusi bulat persamaan Pell.

Teorema berikut memberikan solusi bulat positif persaman Pell $x^2-Dy^2=1$ .

Teorema 2

[box] Misalkan $D$ bukan bilangan kuadrat dan $(x_{1}, y_{1})$ merupakan solusi bulat positif terkecil (dengan $x_1+\sqrt{D}y_1$ terkecil) dari persamaan $x^2-Dy^2 = 1$ . Semua solusi bulat positif persamaan Pell $x^2-Dy^2 = 1$ diberikan oleh pasangan bilangan bulat positif $(x_n,y_n)$ , $n\in\mathbb{N}$ , dengan

$x_n=\frac{(x_1+y_1\sqrt{D})^n+(x_1-y_1\sqrt{D})^n}{2}\quad\text{dan}\quad y_n=\frac{(x_1+y_1\sqrt{D})^n-(x_1-y_1\sqrt{D})^n}{2\sqrt{D}}.$

[/box]

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Perhatikan bahwa jika $(a,b)$ dan $(c, d)$ adalah solusi bulat positif persamaan Pell tersebut, maka $(a^2-Db^2)(c^2-Dd^2) = (ac+Dbd)^2-D(cb+ad)^2 = 1$ , yang berarti $(ac+Dbd, cb+ad)$ merupakan solusi lain persamaan Pell. Berdasarkan observasi ini, solusi persamaan Pell $(x_{n}, y_{n})$ dapat diperoleh melalui ekspresi $(x_{1}^2-Dy_{1}^2)^{n}$ , yakni

$x_n+y_n\sqrt{D}=\left(x_1+y_1\sqrt{D}\right)^n.$

atau ekuivalen dengan

$x_n=\frac{(x_1+y_1\sqrt{D})^n+(x_1-y_1\sqrt{D})^n}{2}\quad\text{dan}\quad y_n=\frac{(x_1+y_1\sqrt{D})^n-(x_1-y_1\sqrt{D})^n}{2\sqrt{D}}.$

Selanjutnya, akan ditunjukan tidak ada solusi lain selain bentuk di atas. Andaikan terdapat solusi bulat positif lain, katakan $(p, q)$ . Terdapat bilangan asli $m$ dengan sifat

$x_{m}+\sqrt{D}y_{m} < p+\sqrt{D}q < x_{m+1}+\sqrt{D}y_{m+1}.$

Dengan mengalikan ketaksamaan tersebut dengan $x_{m}-\sqrt{D}y_{m}$ , diperoleh

$1 < (p+\sqrt{D}q)(x_{m}-\sqrt{D}y_{m}) = (px_{m}-Dqy_{m})+\sqrt{D}(qx_{m}-py_{m})< x_{1}+y_{1}\sqrt{D}.$

Akan tetapi,

$(px_{m}-Dqy_{m})^2-D(qx_{m}-py_{m})^2 = (p+\sqrt{D}q)(x_{m}-\sqrt{D}y_{m})(p-\sqrt{D}q)(x_{m}+\sqrt{D}y_{m}) = 1,$

yang berarti $(px_{m}-Dqy_{m}, qx_{m}-py_{m})$ merupakan suatu solusi bulat positif yang lebih \textit{kecil} dari $(x_1,y_1)$ , suatu kontradiksi.

[/learn_more]

Contoh :

Tentukan semua bilangan asli $n$ sehingga $\frac{n(n+1)}{2}$ merupakan bilangan kuadrat sempurna

Solusi :

Misalkan $\frac{n(n+1)}{2}=m^2$ . Diperoleh

$(2n+1)^2-2(2m)^2=1.$

Cukup diselidiki solusi dari persamaan Pell: $x^2-2y^2=1$ .

Dapat dicek bahwa $(x_1,y_1)=(3,2)$ merupakan solusi bulat positif terkecil. Dengan demikian, semua solusi berbentuk

$x_k+y_k\sqrt{2}=(3+2\sqrt{2})^k$

atau ekuivalen dengan

$x_k=\frac{(3+2\sqrt{2})^k+(3-2\sqrt{2})^k}{2}\quad\text{dan}\quad y_k=\frac{(3+2\sqrt{2})^k-(3-2\sqrt{2})^k}{2\sqrt{2}}$

Jadi, semua bilangan asli $n$ yang memenuhi berbentuk $n=\frac{x_k-1}{2}=\frac{(3+2\sqrt{2})^k+(3-2\sqrt{2})^k-2}{4}$ dengan $k\geq 1$ .

Teorema Terakhir Fermat

Teorema terakhir Fermat merupakan salah satu teorema yang terkenal dikalangan matematikawan yang bekerja di teori bilangan. Teorema ini terkait dengan eksistensi solusi bulat persamaan Diophantine berbentuk $x^n+y^n=z^n$ dengan $n$ bilangan asli. Mudah dicek bahwa untuk $n=1$ , persamaan tersebut memiliki tak hingga banyaknya solusi, sedangkan untuk $n=2$ , solusi bulat positif persamaan tersebut tiada lain adalah tripel Phytagoras. Untuk $n\geq3$ , eksistensi solusi persamaan tersebut diberikan dalam teorema berikut.

Teorema 3

[box] Diberikan $n\geq 3$ . Persamaan Diophantine $x^n+y^n=z^n$ tidak memiliki solusi bulat.[/box]

Pada awalnya, teorema ini masih berupa sebuah klaim. Klaim ini pertama kali disampaikan Fermat sekitar tahun 1637. Dalam tulisannya, ia juga menambahkan catatan bahwasanya ia memiliki solusi yang indah untuk klaim tersebut, namun tidak ada ruang yang cukup untuk menuliskannya. Setelah usaha yang keras selama 348 dari para matematikawan lainnya dalam membuktikan klaim tersebut, pada tahun 1994, Andrew Wiles berhasil membuktikan teorema tersebut untuk pertama kali dan ia mempublikasikannya pada tahun 1995. Bukti yang dituliskan oleh Andrew Wiles sendiri terdiri dari 200-an lebih halaman. Hal ini menunjukkan seberapa sulitnya untuk membuktikan teorema ini.

Selanjutnya, Pembaca dapat mengerjakan soal-soal berikut sebagai latihan.

Tentukan bilangan bulat positif terbesar yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk $42x+y$ untuk suatu bilangan bulat positif $x$ dan $y$ dengan $y$ komposit.
Tentukan semua bilangan asli $n$ sehingga $\frac{n(n+1)}{3}$ merupakan bilangan kuadrat sempurna.
Tentukan semua solusi bulat positif persamaan
$x^2-4xy+y^2=1.$

Persamaan Diophantine Non-Linear

Published by made.tantrawan on October 21, 2020October 21, 2020

Persamaan Phytagoras

Persamaan Pell

Teorema Terakhir Fermat

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Sistem Bilangan Bulat

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Persamaan Diophantine Non-Linear

Published by made.tantrawan on October 21, 2020October 21, 2020

Persamaan Phytagoras

Persamaan Pell

Teorema Terakhir Fermat

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Related Posts

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Sistem Bilangan Bulat

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli