Apakah Anda sudah pernah mendengar kata order? Dimanakah anda menjumpai kata tersebut?
Kata order dapat ditemui salah satunya pada pembahasan mengenai strukrut aljabar, khususnya teori grup dan teori ring. Order dari suatu elemen a di grup atau ring adalah bilangan asli terkecil sehingga a dipangkatkan dengan bilangan tersebut hasilnya adalah elemen identitas. Pada artikel ini akan dibahas mengenai order dari suatu bilangan.
Order dari Suatu Bilangan
Diberikan bilangan asli relatif prima dan
. Apakah selalu terdapat bilangan asli
sehingga
? Artikel ini akan menyelidiki sifat-sifat bilangan
yang memenuhi kondisi tersebut.
Tinjau himpunan di modulo
. Jelas bahwa hanya terdapat sebanyak
(berhingga) residu di modulo
. Akibatnya, pasti terdapat dua anggota
yang kongruen di modulo
, sebut
dengan
. Jadi,
sehingga terbukti bahwa selalu terdapat bilangan asli
yang memenuhi
.
Selanjutnya kita akan menyelidiki sifat-sifat bilangan asli terkecil yang memenuhi sifat tersebut.
Definisi
Diberikan bilangan asli dan
dengan
. Bilangan asli
disebut sebagai \textbf{order} dari
modulo
, atau dituliskan
apabila
merupakan bilangan asli terkecil yang memenuhi
.
Sebagai contoh, perhatikan barisan di modulo 7 berikut
Dapat dilihat bahwa order dari 2 modulo 7 adalah 3 atau dituliskan . Perhatikan bahwa pula bahwa apabila
, maka
haruslah merupakan kelipatan 3 (ordernya). Sifat yang cukup intuitif tersebut dibahas pada teorema berikut.
Teorema 1.
[box] Diberikan bilangan asli dan
dengan
. Jika
, maka untuk sebarang bilangan asli
yang memenuhi
, berlaku
. [/box]
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Menurut algoritma pembagian, terdapat bilangan bulat dan
yang memenuhi
dan
. Perhatikan bahwa
Akibatnya, . Apabila
, maka karena
, diperoleh suatu kontradiksi dengan fakta bahwa
merupakan bilangan asli terkecil sehingga
. Jadi,
dan disimpulkan bahwa
.
[/learn_more]
Akibat 2.
[box] Diberikan bilangan asli . Berikut adalah beberapa akibat dari Teorema 1.
- Jika
adalah bilangan prima, maka
.
- Jika
adalah bilangan asli yang relatif prima dengan
, maka
.
- Jika
dan
adalah bilangan asli serta
dan
, maka
. [/box]
Teorema 3
[box] Untuk sebarang bilangan asli dan
dengan
, berlaku
[/box]
[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]
Jelas bahwa pasti membagi
dan
sehingga
Selanjutnya, diambil sebarang bilangan asli yang membagi
dan
. Jelas bahwa
sehingga
dan
punya inverse di modulo
. Menurut Bezout, terdapat bilangan bulat
dan
sehingga
. Jadi
sehingga . Karena ini berlaku untuk setiap
pembagi persekutuan
dan
, jika dipilih
, maka didapat
[/learn_more]
Contoh
Contoh 1
[AIME 2001]
Banyaknya kelipatan 1001 yang dapat dinyatakan dalam bentuk di mana
dan
adalah bilangan bulat dan
adalah
Solusi:
Diperhatikan bahwa
Jadi, . Namun, karena
, maka
. Akibatnya, jika untuk suatu
dengan
berlaku
, berlaku
Begitu pula sebaliknya. Apabila adalah pasangan di mana
dengan
, pasti berlaku
. Akibatnya, cukup dihitung banyaknya
yang memenuhi
dan
. Pembaca dipersilahkan untuk memverifikasi bahwa banyaknya pasangan tersebut adalah 784.
Contoh 2
Diberikan bilangan prima . Buktikan bahwa semua faktor prima
lebih besar dari
.
Solusi:
Misalkan adalah faktor prima
dan
. Diperoleh
Akibatnya, dan
. Karena
, maka
atau
.
- Jika
, diperoleh kontradiksi sebab
.
- Jika
, diperoleh
sehingga $q-1 \leq p \implies q > p
Terbukti.
0 Comments