Fungsi Floor

[latexpage]

Sifat Dasar Fungsi Floor

Untuk setiap bilangan real $x$, selalu terdapat dengan tunggal bilangan bulat $n$ yang memenuhi $n \leq x < n+1$. Bilangan ini kita sebut sebagai \textit{floor} dari $x$, yang disimbolkan dengan $n = \lfloor x \rfloor$. Nilai $\lfloor x \rfloor$ pada dapat pula didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang tidak lebih dari $x$. Sebagai contoh, $\lfloor 2,398 \rfloor = 2, \lfloor \pi \rfloor = 3$ dan $\lfloor -30,9 \rfloor = -31$.

Selanjutnya, kita definisikan fungsi \textit{ceil} dari $x$, yaitu $\lceil x \rceil$ sebagai bilangan bulat terkecil yang tidak kurang dari $x$. Untuk melambangkan bagian pecahan (\textit{fractional part}) dari $x$, kita definisikan $\{x\} = x – \lfloor x \rfloor$. Sebagai contoh, $\lceil \pi \rceil = 4, \{1,25\} = 0,25, \lceil -1,25 \rceil = -1$ dan $\{-1,25\} = 0,75$.

Teorema 1

[box]

1. Diberikan bilangan bulat $a$ dan $b$ dengan $b > 0$. Hasil bagi $q$ ketika $a$ dibagi oleh $b$ sama dengan $\left\lfloor \dfrac{a}{b} \right\rfloor$.
2. Untuk setiap bilangan real $x$ dan bilangan bulat $n$, berlaku $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$ dan $\lceil x + n \rceil = \lceil x \rceil + n$.
3. Jika $x$ adalah bilangan real positif dan $n$ adalah bilangan asli, maka banyaknya kelipatan $n$ yang kurang dari $x$ adalah $\left \lfloor \dfrac{x}{n} \right \rfloor$.
4. Untuk setiap bilangan real positi $x$ dan bilangan asli $n$, berlaku
   \[\left \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor}{n} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{x}{n} \right \rfloor.\]

[/box]

Contoh [OSK 2018]

Untuk setiap bilangan real $z$, $\lfloor z \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan $z$. Jika diketahui $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + y = 43,8$ dan $x+y- \lfloor x \rfloor = 18,4$, maka
nilai $10(x+y)$ adalah \ldots

Solusi:

Substitusi $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$ dan $y = \lfloor y \rfloor + \{y\}$, diperoleh
\[\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + \lfloor y \rfloor + \{y\} = 43,8 \implies \lfloor x \rfloor + 2\lfloor y \rfloor + \{y\} = 43,8.\]
Akibatnya, $\{y\}$ haruslah sama dengan $0,8$. Jadi $y = \lfloor y \rfloor + 0,8$. Diperoleh
\[x + y – \lfloor x \rfloor = 18,4 \implies \{x\} + \lfloor y \rfloor + 0,8 = 18,4 \implies \lfloor y \rfloor + \{x\} = 17,6\]
Karena $\lfloor y \rfloor$ bulat, maka $\{x\} = 0,6$ dan $\lfloor y \rfloor = 17$ sehingga $y = 17,8$. Diperoleh $\lfloor x \rfloor = 43,8 – 0,8 – 34 = 9$ sehingga $x = 9,6$. Jadi $10(x+y) = 96 + 178 = \boxed{274}$.

Contoh:

Buktikan bahwa
\[\lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor \geq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + \lfloor x+y \rfloor\]
untuk setiap bilangan real $x$ dan $y$.

Solusi:

Kita tahu bahwa $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$ dan $y = \lfloor y \rfloor + \{y\}$. Jadi
\[\lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor = 2\lfloor x \rfloor + 2\lfloor y \rfloor + \lfloor2\{x\}\rfloor + \lfloor2\{y\}\rfloor\]
dan
\[\lfloor x + y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + \lfloor \{x\}+\{y\} \rfloor.\]
Jadi, cukup dibuktikan bahwa
\[\lfloor2\{x\}\rfloor + \lfloor2\{y\}\rfloor \geq \lfloor \{x\} + \{y\} \rfloor.\]
Jelas bahwa $0 \leq \{x\},\{y\} < 1$ sehingga $0 \leq \{x\} + \{y\} < 2$. Akibatnya, $\lfloor \{x\} + \{y\} \rfloor$ bernilai 0 atau 1. Apabila $\lfloor \{x\} + \{y\} \rfloor = 0$, jelas bahwa
\[\lfloor2\{x\}\rfloor + \lfloor2\{y\}\rfloor \geq 0 = \lfloor \{x\} + \{y\}\rfloor.\]
Apabila $\lfloor \{x\} + \{y\} \rfloor = 1$, maka jelas bahwa tidak mungkin $\{x\}$ dan $\{y\}$ kedua-duanya kurang dari $0,5$. Akibatnya, salah satu dari $\lfloor 2\{x\} \rfloor$ atau $\lfloor 2\{y\} \rfloor$ harus bernilai paling kurang 1, sehingga
\[\lfloor2\{x\}\rfloor + \lfloor2\{y\}\rfloor \geq 1 = \lfloor \{x\} + \{y\}\rfloor.\]
Terbukti.

Contoh:

Tentukan semua solusi real dari persamaan
\[4x^2 – 40\lfloor x \rfloor + 51 = 0.\]

Solusi:

Perhatikan bahwa $\lfloor x \rfloor \leq x$ sehingga
\[(2x-3)(2x-17) = 4x^2 – 40x + 51 \leq 4x^2 – 40\lfloor x \rfloor + 51 = 0.\]
Jadi $\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{17}{2}$ dan $1 \leq \lfloor x \rfloor \leq 8$. Dari sini, kita dapat mulai \textit{menguli} nilai $x$ dengan memasukkan $\lfloor x \rfloor$ ke persamaan
\[x^2 = \frac{40\lfloor x \rfloor – 51}{4}\]

• $\lfloor x \rfloor = 1$, diperoleh $x^2 = -\frac{11}{4}$. Tidak mungkin.
• $\lfloor x \rfloor = 2$, diperoleh $x^2 = \frac{29}{4}$ sehingga $x = \pm \frac{\sqrt{29}}{2}$. Namun jika $x = -\frac{\sqrt{29}}{2}$, dipunyai $\lfloor x \rfloor = -3 \neq 2$.
• $\lfloor x \rfloor = 3$, diperoleh $x^2 = \frac{69}{4}$ sehingga $x = \pm \frac{\sqrt{69}}{2}$. Mudah untuk melihat bahwa kedua nilai $x$ tersebut tidak memenuhi $\lfloor x \rfloor = 3$.

Dengan mencoba nilai $\lfloor x \rfloor$ dari 1 sampai 8 seperti di atas, diperoleh solusi persamaan adalah $\frac{\sqrt{29}}{2}, \frac{\sqrt{189}}{2}, \frac{\sqrt{229}}{2}$ dan $\frac{\sqrt{269}}{2}$.

Pembahasan akan kita tutup dengan membuktikan suatu identitas yang dikenal sebagai Hermite identity.

Teorema 2

[box] Untuk setiap bilangan real $x$ dan bilangan asli $n$, berlaku
\[\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{n} \right\rfloor + \left\lfloor x + \frac{2}{n} \right\rfloor + \ldots + \left \lfloor x + \frac{n-1}{n} \right \rfloor = \lfloor nx \rfloor\] [/box]

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Karena $0 \leq \{x\} < 1$, maka $\{x\}$ harus terletak pada salah satu dari interval
\[\left[0, \frac{1}{n}\right), \left[\frac{1}{n}, \frac{2}{n}\right), \left[\frac{2}{n}, \frac{3}{n}\right), \ldots, \left[\frac{n-1}{n}, 1\right).\]
Andaikan $\{x\} \in \left[\dfrac{i-1}{n}, \dfrac{i}{n}\right)$ untuk setiap bilangan asli $i$ dengan $0 \leq i \leq n-1$. Akibatnya
\[\lfloor x \rfloor = \left\lfloor x + \frac{1}{n} \right\rfloor = \ldots = \left\lfloor x + \frac{n-i}{n} \right\rfloor\]
dan
\[\left\lfloor x + \frac{n-i+1}{n} \right\rfloor = \left\lfloor x + \frac{n-i+2}{n} \right\rfloor = \ldots = \left\lfloor x + \frac{n-1}{n} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor + 1.\]
Jadi
\begin{align*}
\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{n} \right\rfloor + \ldots + \left \lfloor x + \frac{n-1}{n} \right \rfloor &= (n-i+1)\lfloor x \rfloor + (i-1)(\lfloor x \rfloor + 1) \\
&= n\lfloor x \rfloor + i – 1
\end{align*}
dan karena $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$, maka
\[\lfloor x \rfloor + \frac{i-1}{n} \leq x < \lfloor x \rfloor + \frac{i}{n} \implies n\lfloor x \rfloor + (i-1) \leq nx < n \lfloor x \rfloor + i \]
sehingga $\lfloor nx \rfloor = n\lfloor x \rfloor + i-1$. Terbukti.

[/learn_more]

Latihan

Selanjutnya, Pembaca dapat mengerjakan soal-soal berikut sebagai latihan.

1. [OSK 2019]
   Untuk sebarang bilangan real $x$, simbol $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada $x$, sedangkan $\lceil x \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang tidak lebih kecil dibanding $x$. Interval $[a, b)$ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi
   \[\lfloor 2x \rfloor^2 = \lceil x \rceil + 7\]
   Nilai $a \cdot b$ adalah \ldots
2. [CWMO 2001]
   Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\lfloor x^3 \rfloor = 4x+3$.
3. [OSP 2017]
   Untuk sebarang bilangan real $x$, notasi $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada $x$. Diketahui $\{a_i\}_{i \geq 1}$ barisan bilangan real dengan $a_1 = 2017$. Jika
   \[a_1,a_2,\ldots,a_{11} \text{ dan } \lfloor a_1 \rfloor, \lfloor a_2 \rfloor, \ldots, \lfloor a_{10} \rfloor\]
   masing-masing merupakan barisan aritmatika sedangkan $\lfloor a_1 \rfloor, \lfloor a_2 \rfloor, \ldots, \lfloor a_{11} \rfloor$ bukan barisan aritmatika, maka nilai minimum $a_2 – a_1 – \lfloor a_2 – a_1 \rfloor$ adalah \ldots
4. [OSP 2013]
   Untuk sebarang bilangan real $x$, didefinisikan $\lfloor x \rfloor$ sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$. Tentukan banyaknya bilangan asli $n \leq 10^6$ sehingga
   \[\sqrt{n} – \lfloor \sqrt{n} \rfloor < \frac{1}{2013}\]
5. [IMO 1968]
   Misalkan $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih dari $x$. Jika $n$ adalah bilangan asli, cari nilai jumlahan berikut sebagai fungsi dalam $n$
   \[\left\lfloor \frac{n+1}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n+2}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n+4}{8} \right\rfloor + \ldots\]
6. [OSN 2009]
   Misalkan untuk setiap bilangan real $x$ didefinisikan $\lfloor x \rfloor$ sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$. Diberikan $a_1,a_2,a_3,\ldots$ suatu barisan bilangan asli yang memenuhi $a_1 > 1$ dan
   \[\left\lfloor \frac{a_1+1}{a_2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{a_2+1}{a_3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{a_3+1}{a_4} \right\rfloor = \ldots \]
   Buktikan bahwa $\left \lfloor \dfrac{a_n+1}{a_{n+1}} \right\rfloor \leq 1$ untuk setiap bilangan asli $n$.
7. [OSN 2016]
   Diberikan bilangan real $x$. Definisikan barisan $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ dengan $a_n = \lfloor nx \rfloor$ untuk setiap bilangan asli $n$. Jika $\{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ merupakan barisan aritmatika, haruskah $x$ bilangan bulat?
8. [OSN 2019]
   Diberikan bilangan real $a$ dan $b$ sedemikian hingga terdapat tak hingga bilangna asli $m$ dan $n$ yang memenuhi
   \begin{align*}
   \lfloor an + b \rfloor &\geq \lfloor a + bn \rfloor \\
   \lfloor a + bm \rfloor &\geq \lfloor am + b \rfloor.
   \end{align*}
   Buktikan bahwa $a = b$.