Fungsi Floor

Sifat Dasar Fungsi Floor

Untuk setiap bilangan real $x$ , selalu terdapat dengan tunggal bilangan bulat $n$ yang memenuhi $n \leq x < n+1$ . Bilangan ini kita sebut sebagai \textit{floor} dari $x$ , yang disimbolkan dengan $n = \lfloor x \rfloor$ . Nilai $\lfloor x \rfloor$ pada dapat pula didefinisikan sebagai bilangan bulat terbesar yang tidak lebih dari $x$ . Sebagai contoh, $\lfloor 2,398 \rfloor = 2, \lfloor \pi \rfloor = 3$ dan $\lfloor -30,9 \rfloor = -31$ .

Selanjutnya, kita definisikan fungsi \textit{ceil} dari $x$ , yaitu $\lceil x \rceil$ sebagai bilangan bulat terkecil yang tidak kurang dari $x$ . Untuk melambangkan bagian pecahan (\textit{fractional part}) dari $x$ , kita definisikan $\{x\} = x - \lfloor x \rfloor$ . Sebagai contoh, $\lceil \pi \rceil = 4, \{1,25\} = 0,25, \lceil -1,25 \rceil = -1$ dan $\{-1,25\} = 0,75$ .

Teorema 1

[box]

Diberikan bilangan bulat $a$ dan $b$ dengan $b > 0$ . Hasil bagi $q$ ketika $a$ dibagi oleh $b$ sama dengan $\left\lfloor \dfrac{a}{b} \right\rfloor$ .
Untuk setiap bilangan real $x$ dan bilangan bulat $n$ , berlaku $\lfloor x + n \rfloor = \lfloor x \rfloor + n$ dan $\lceil x + n \rceil = \lceil x \rceil + n$ .
Jika $x$ adalah bilangan real positif dan $n$ adalah bilangan asli, maka banyaknya kelipatan $n$ yang kurang dari $x$ adalah $\left \lfloor \dfrac{x}{n} \right \rfloor$ .
Untuk setiap bilangan real positi $x$ dan bilangan asli $n$ , berlaku
$\left \lfloor \frac{\lfloor x \rfloor}{n} \right \rfloor = \left \lfloor \frac{x}{n} \right \rfloor.$

[/box]

Contoh [OSK 2018]

Untuk setiap bilangan real $z$ , $\lfloor z \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil dari atau sama dengan $z$ . Jika diketahui $\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + y = 43,8$ dan $x+y- \lfloor x \rfloor = 18,4$ , maka
nilai $10(x+y)$ adalah \ldots

Solusi:

Substitusi $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$ dan $y = \lfloor y \rfloor + \{y\}$ , diperoleh

$\lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + \lfloor y \rfloor + \{y\} = 43,8 \implies \lfloor x \rfloor + 2\lfloor y \rfloor + \{y\} = 43,8.$

Akibatnya, $\{y\}$ haruslah sama dengan $0,8$ . Jadi $y = \lfloor y \rfloor + 0,8$ . Diperoleh

$x + y - \lfloor x \rfloor = 18,4 \implies \{x\} + \lfloor y \rfloor + 0,8 = 18,4 \implies \lfloor y \rfloor + \{x\} = 17,6$

Karena $\lfloor y \rfloor$ bulat, maka $\{x\} = 0,6$ dan $\lfloor y \rfloor = 17$ sehingga $y = 17,8$ . Diperoleh $\lfloor x \rfloor = 43,8 - 0,8 - 34 = 9$ sehingga $x = 9,6$ . Jadi $10(x+y) = 96 + 178 = \boxed{274}$ .

Contoh:

Buktikan bahwa

$\lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor \geq \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + \lfloor x+y \rfloor$

untuk setiap bilangan real $x$ dan $y$ .

Solusi:

Kita tahu bahwa $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$ dan $y = \lfloor y \rfloor + \{y\}$ . Jadi

$\lfloor 2x \rfloor + \lfloor 2y \rfloor = 2\lfloor x \rfloor + 2\lfloor y \rfloor + \lfloor2\{x\}\rfloor + \lfloor2\{y\}\rfloor$

dan

$\lfloor x + y \rfloor = \lfloor x \rfloor + \lfloor y \rfloor + \lfloor \{x\}+\{y\} \rfloor.$

Jadi, cukup dibuktikan bahwa

$\lfloor2\{x\}\rfloor + \lfloor2\{y\}\rfloor \geq \lfloor \{x\} + \{y\} \rfloor.$

Jelas bahwa $0 \leq \{x\},\{y\} < 1$ sehingga $0 \leq \{x\} + \{y\} < 2$ . Akibatnya, $\lfloor \{x\} + \{y\} \rfloor$ bernilai 0 atau 1. Apabila $\lfloor \{x\} + \{y\} \rfloor = 0$ , jelas bahwa

$\lfloor2\{x\}\rfloor + \lfloor2\{y\}\rfloor \geq 0 = \lfloor \{x\} + \{y\}\rfloor.$

Apabila $\lfloor \{x\} + \{y\} \rfloor = 1$ , maka jelas bahwa tidak mungkin $\{x\}$ dan $\{y\}$ kedua-duanya kurang dari $0,5$ . Akibatnya, salah satu dari $\lfloor 2\{x\} \rfloor$ atau $\lfloor 2\{y\} \rfloor$ harus bernilai paling kurang 1, sehingga

$\lfloor2\{x\}\rfloor + \lfloor2\{y\}\rfloor \geq 1 = \lfloor \{x\} + \{y\}\rfloor.$

Terbukti.

Contoh:

Tentukan semua solusi real dari persamaan

$4x^2 - 40\lfloor x \rfloor + 51 = 0.$

Solusi:

Perhatikan bahwa $\lfloor x \rfloor \leq x$ sehingga

$(2x-3)(2x-17) = 4x^2 - 40x + 51 \leq 4x^2 - 40\lfloor x \rfloor + 51 = 0.$

Jadi $\frac{3}{2} \leq x \leq \frac{17}{2}$ dan $1 \leq \lfloor x \rfloor \leq 8$ . Dari sini, kita dapat mulai \textit{menguli} nilai $x$ dengan memasukkan $\lfloor x \rfloor$ ke persamaan

$x^2 = \frac{40\lfloor x \rfloor - 51}{4}$

$\lfloor x \rfloor = 1$ , diperoleh $x^2 = -\frac{11}{4}$ . Tidak mungkin.
$\lfloor x \rfloor = 2$ , diperoleh $x^2 = \frac{29}{4}$ sehingga $x = \pm \frac{\sqrt{29}}{2}$ . Namun jika $x = -\frac{\sqrt{29}}{2}$ , dipunyai $\lfloor x \rfloor = -3 \neq 2$ .
$\lfloor x \rfloor = 3$ , diperoleh $x^2 = \frac{69}{4}$ sehingga $x = \pm \frac{\sqrt{69}}{2}$ . Mudah untuk melihat bahwa kedua nilai $x$ tersebut tidak memenuhi $\lfloor x \rfloor = 3$ .

Dengan mencoba nilai $\lfloor x \rfloor$ dari 1 sampai 8 seperti di atas, diperoleh solusi persamaan adalah $\frac{\sqrt{29}}{2}, \frac{\sqrt{189}}{2}, \frac{\sqrt{229}}{2}$ dan $\frac{\sqrt{269}}{2}$ .

Pembahasan akan kita tutup dengan membuktikan suatu identitas yang dikenal sebagai Hermite identity.

Teorema 2

[box] Untuk setiap bilangan real $x$ dan bilangan asli $n$ , berlaku

$\lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{n} \right\rfloor + \left\lfloor x + \frac{2}{n} \right\rfloor + \ldots + \left \lfloor x + \frac{n-1}{n} \right \rfloor = \lfloor nx \rfloor$

[/box]

[learn_more caption=”Bukti:” state=”open”]

Karena $0 \leq \{x\} < 1$ , maka $\{x\}$ harus terletak pada salah satu dari interval

$\left[0, \frac{1}{n}\right), \left[\frac{1}{n}, \frac{2}{n}\right), \left[\frac{2}{n}, \frac{3}{n}\right), \ldots, \left[\frac{n-1}{n}, 1\right).$

Andaikan $\{x\} \in \left[\dfrac{i-1}{n}, \dfrac{i}{n}\right)$ untuk setiap bilangan asli $i$ dengan $0 \leq i \leq n-1$ . Akibatnya

$\lfloor x \rfloor = \left\lfloor x + \frac{1}{n} \right\rfloor = \ldots = \left\lfloor x + \frac{n-i}{n} \right\rfloor$

dan

$\left\lfloor x + \frac{n-i+1}{n} \right\rfloor = \left\lfloor x + \frac{n-i+2}{n} \right\rfloor = \ldots = \left\lfloor x + \frac{n-1}{n} \right\rfloor = \lfloor x \rfloor + 1.$

Jadi

$\begin{align*} \lfloor x \rfloor + \left\lfloor x + \frac{1}{n} \right\rfloor + \ldots + \left \lfloor x + \frac{n-1}{n} \right \rfloor &= (n-i+1)\lfloor x \rfloor + (i-1)(\lfloor x \rfloor + 1) \\ &= n\lfloor x \rfloor + i - 1 \end{align*}$

dan karena $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$ , maka

$\lfloor x \rfloor + \frac{i-1}{n} \leq x < \lfloor x \rfloor + \frac{i}{n} \implies n\lfloor x \rfloor + (i-1) \leq nx < n \lfloor x \rfloor + i$

sehingga $\lfloor nx \rfloor = n\lfloor x \rfloor + i-1$ . Terbukti.

[/learn_more]

Latihan

Selanjutnya, Pembaca dapat mengerjakan soal-soal berikut sebagai latihan.

[OSK 2019]
Untuk sebarang bilangan real $x$ , simbol $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada $x$ , sedangkan $\lceil x \rceil$ menyatakan bilangan bulat terkecil yang tidak lebih kecil dibanding $x$ . Interval $[a, b)$ adalah himpunan semua bilangan real $x$ yang memenuhi

$\lfloor 2x \rfloor^2 = \lceil x \rceil + 7$

Nilai $a \cdot b$ adalah \ldots
[CWMO 2001]
Tentukan semua bilangan real $x$ yang memenuhi $\lfloor x^3 \rfloor = 4x+3$ .
[OSP 2017]
Untuk sebarang bilangan real $x$ , notasi $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilan bulat terbesar yang tidak lebih besar daripada $x$ . Diketahui $\{a_i\}_{i \geq 1}$ barisan bilangan real dengan $a_1 = 2017$ . Jika

$a_1,a_2,\ldots,a_{11} \text{ dan } \lfloor a_1 \rfloor, \lfloor a_2 \rfloor, \ldots, \lfloor a_{10} \rfloor$

masing-masing merupakan barisan aritmatika sedangkan $\lfloor a_1 \rfloor, \lfloor a_2 \rfloor, \ldots, \lfloor a_{11} \rfloor$ bukan barisan aritmatika, maka nilai minimum $a_2 - a_1 - \lfloor a_2 - a_1 \rfloor$ adalah \ldots
[OSP 2013]
Untuk sebarang bilangan real $x$ , didefinisikan $\lfloor x \rfloor$ sebagai bilangan bulat terbesar yang kurang dari atau sama dengan $x$ . Tentukan banyaknya bilangan asli $n \leq 10^6$ sehingga

$\sqrt{n} - \lfloor \sqrt{n} \rfloor < \frac{1}{2013}$
[IMO 1968]
Misalkan $\lfloor x \rfloor$ menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih dari $x$ . Jika $n$ adalah bilangan asli, cari nilai jumlahan berikut sebagai fungsi dalam $n$

$\left\lfloor \frac{n+1}{2} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n+2}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{n+4}{8} \right\rfloor + \ldots$
[OSN 2009]
Misalkan untuk setiap bilangan real $x$ didefinisikan $\lfloor x \rfloor$ sebagai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan $x$ . Diberikan $a_1,a_2,a_3,\ldots$ suatu barisan bilangan asli yang memenuhi $a_1 > 1$ dan

$\left\lfloor \frac{a_1+1}{a_2} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{a_2+1}{a_3} \right\rfloor = \left\lfloor \frac{a_3+1}{a_4} \right\rfloor = \ldots$

Buktikan bahwa $\left \lfloor \dfrac{a_n+1}{a_{n+1}} \right\rfloor \leq 1$ untuk setiap bilangan asli $n$ .
[OSN 2016]
Diberikan bilangan real $x$ . Definisikan barisan $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ dengan $a_n = \lfloor nx \rfloor$ untuk setiap bilangan asli $n$ . Jika $\{a_n\}_{n = 1}^{\infty}$ merupakan barisan aritmatika, haruskah $x$ bilangan bulat?
[OSN 2019]
Diberikan bilangan real $a$ dan $b$ sedemikian hingga terdapat tak hingga bilangna asli $m$ dan $n$ yang memenuhi

$\begin{align*} \lfloor an + b \rfloor &\geq \lfloor a + bn \rfloor \\ \lfloor a + bm \rfloor &\geq \lfloor am + b \rfloor. \end{align*}$

Buktikan bahwa $a = b$ .

Published by ricky.the.ising on October 21, 2020October 21, 2020

Sifat Dasar Fungsi Floor

Latihan

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Sistem Bilangan Bulat

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli

Fungsi Floor

Published by ricky.the.ising on October 21, 2020October 21, 2020

Sifat Dasar Fungsi Floor

Latihan

0 Comments

Leave a Reply Cancel reply

Related Posts

Relasi Urutan Pada Bilangan Bulat

Sistem Bilangan Bulat

Operasi Perkalian Pada Sistem Bilangan Asli